Tema 1: Números Enteros

En este tema repasaremos los cálculos con números enteros. Incluimos también el tema de la divisibilidad entre números.

Suma y resta en los enteros.

La suma y resta de números enteros debe realizarse con mucho cuidado. Existe una confusión con estas operaciones debido a que los signos que se utilizan para estas operaciones: "+" y "-" son los mismos que se utilizan para designar a los enteros negativos y positivos. Esto es así debido a que no es necesario distinguir entre un "-" de resta que un "-" de signo negativo. Ambos se operan de la misma manera. Vamos a distinguir diferentes casos.
Suma de dos enteros positivos: Ésta es como la suma de dos naturales. +6+(+4)=6+4=10. Como puede verse, los signos "+" que indican que el entero es positivo se pueden suprimir sin problema. +6=6.
Suma de dos enteros negativos: Este caso es muy parecido al de dos enteros positivos, ya que sumaremos los dos números como si fueran positivos, pero finalmente pondremos el resultado con signo negativo. -6+(-4)=-6-4=-10
Suma de enteros de signo diferente: Aquí ya tenemos que ir con más cuidado. Al tener signo diferente no se sumarán, si no que se restarán. Se resta el número mayor menos el menor y se deja el signo que tenga el entero de número más grande (tanto si es positivo como negativo). Veamos algunos ejemplos: +6+(-4)=6-4=+2; -6+(+4)=-6+4=-2
Como has podido comprobar, aunque inicialmente indicamos el signo de los enteros usando un paréntesis (ya que no puede escribirse dos signos seguidos +- debe escribirse +(-)), eliminamos dichos paréntesis utilizando la ley de los signos: +(+)=+; -(-)=+; +(-)=-; -(+)=-.
Resta de dos enteros positivos: Ésta es también la resta de dos naturales. +6-(+4)=6-4=+2.
Resta de dos enteros negativos: Será como la suma de enteros de diferente signo. -6-(-4)=-6+4=-2.
Resta de enteros de diferente signo: Éste será el caso de suma de enteros del mismo signo: -6-(+4)=-6-4=-10; +6-(-4)=6+4=+10.

Aunque hemos distinguido 6 casos diferentes, en el fondo solo acabaremos teniendo 4 casos, una vez que hayamos quitado los paréntesis: 6+4=10; 6-4=2; -6-4=-10; -6+4=-2. Cuando los dos números tienen el mismo signo se suman y se deja el signo que tenían, y cuando tienen diferente signo se resta el mayor menos el menor (en términos de valor absoluto) y se deja el signo del mayor (en valor absoluto).
Observa algunos ejemplos más:

Lo siguiente será aplicar lo aprendido al caso de sumas y restas consecutivas. Se procede de la misma forma. Lo primero será eliminar los paréntesis. Pongamos un ejemplo:
+6-(-3)+(+4)+(-5)-(+2)=6+3+4-5-2
A continuación podemos ir sumando o restando de izquierda a derecha en el orden que van apareciendo las operaciones: 6+3+4-5-2=9+4-5-2=13-5-2=8-2=6
O bien podemos hacer lo siguiente, sumamos por un lado todos los números positivos y por otro lado todos los números negativos (el resultado de la suma de los negativos quedará con signo negativo): 13-7. Luego solo nos quedará hacer una resta: 13-7=6
Generalmente este segundo método es más rápido, ya que solo se hacen sumas, excepto la resta final.
Observa el siguiente vídeo en el que se utiliza el método que acabamos de explicar.

Multiplicación y división de enteros

Estas operaciones son mucho más sencillas que las sumas y restas, ya que únicamente deberemos tener en cuenta la ley de los signos ya conocida. Hacemos el producto o la división y luego colocamos el signo que corresponda. Por ejemplo: +6·(+4)=+24. +6·(-4)=-24. (-6):(-2)=+3
Veamos algunos ejemplos más en vídeo:

Ahora solo falta considerar las operaciones combinadas, es decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en la misma operación. También pueden añadirse corchetes y llaves. La prioridad de las operaciones son: primero los paréntesis (corchetes y llaves), luego los productos y los cocientes, y finalmente las sumas y restas. Pongamos un ejemplo:
[15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 4 ) = (15-3)·(5+2)-3+4=12·7-3+4=84-3+4=88-3=85
También es posible utilizar la propiedad distributiva cuando tenemos un producto de un entero por un paréntesis (aunque yo recomiendo hacer primero los paréntesis). Veamos un ejemplo en vídeo:

Potencias de números enteros.

Las potencias de números enteros se calculan como la de números naturales, pero debemos tener en cuenta el signo que se obtendrá. En el caso de que el exponente sea un número par, el resultado será siempre positivo, independientemente del signo de la base.

Sin embargo, si el exponente es impar, el resultado será positivo si la base es positiva, y negativo si la base es negativa.

Las operaciones con potencias son las mismas que para naturales: producto de potencias de la misma base se mantiene la base y se suman los exponentes.

Cociente de potencias de la misma base se mantiene la base y se restan los exponentes.

(En este curso consideraremos que m es mayor que n, por lo que el exponente siempre será positivo).
Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

La potencia de una multiplicación o división es igual al producto o cociente de las potencias de los factores.

Ahora observa el siguiente vídeo, en el que se calcula el cociente de potencias de base negativa.

Raíz cuadrada de números enteros

La raíz cuadrada de un número entero, si éste es positivo, será igual que en el caso de los naturales, pero si es negativo, simplemente no se podrá hacer, ya que no existe ningún número entero (ni siquiera real) que multiplicado por sí mismo de como resultado un número negativo.

Si a es negativo no tendrá raíz cuadrada, ya que no existe ningún b que elevado al cuadrado nos de un resultado negativo.
La jerarquía de las operaciones es tal que tras hacer los paréntesis, las potencias y raíces tienen prioridad frente a los productos y divisiones.
La raiz entera de un número es la aproximación a los enteros, es decir, la raíz sin decimales. Por ejemplo, la raíz entera de 5, dado que su raíz es 2,236... sería 2. El resto de la raíz sería tal que si elevo este 2 al cuadrado, lo que me falta hasta llegar a 5 será el resto. Es decir 1. Por tanto, la raíz entera de 5 es 2 y su resto es 1. Prueba ahora con la raíz entera de 237 y mira el resultado en el siguiente vídeo. Ver vídeo.

Divisibilidad en los enteros.

Si tenemos que hallar todos los divisores enteros de un número procederemos de la siguiente manera. Primero descompondremos el número por el método estudiado en años anteriores. Pongamos un ejemplo. Dado el 840 lo descomponemos en factores de números primos.

El orden en que realizamos la descomposición no es importante ya que el resultado no depende de éste, aunque por costumbre solemos empezar por los números más fáciles de dividir. Incluso, cuando el número acaba en 0, podemos dividir el número entre 10 (cuidado que 10 no es primo y tendremos que poner 10=2·5) y así la descomposición será mucho más rápida. También, al empezar por aquellos números de los que conocemos su criterio de divisibilidad, nos dejamos para el final aquellos más difíciles de conocer, como es el caso del 7, pero que ya no es un problema cuando el número ya es pequeño.
En cualquier caso la descomposición de 840 será:

Ahora buscaremos todos los divisores de 840, pero antes vamos a dar un método para averiguar el número de divisores. Si a cada exponente de la descomposición le sumamos una unidad, y luego hacemos el producto de estas sumas, obtendremos el número de divisores de ese número. En el caso del 840 los exponentes son 3 para el factor 2, 1 para el 3, 1 para el 5 y 1 para el 7 (los unos no suelen ponerse pero ahí están). Si ahora le sumo una unidad a cada exponente y los multiplico obtengo:

840 tendrá 32 divisores positivos (otros tantos de negativos, por lo que en total serían 64 divisores enteros).

Ahora que sabemos el número de divisores nos servirá para el método para hallarlos que utilizaremos. El método consiste en colocarlos en una tabla. Esa tabla tendrá dimensiones de 8x4, 16x2... en cualquier caso tendrá 32 casillas. Empezaremos por el divisor más pequeño, el 1, que lo colocaremos en el extremo superior izquierdo.

Seguidamente escogemos el siguiente factor de la descomposición, por ejemplo el 2, y lo colocamos debajo del 1.

También podríamos haberlo colocado a la derecha del 1 (en ese caso el número de casillas por ese lado hubieran tenido que ser mayores, la tabla por eso no es necesario tenerla dibujada de entrada).
Seguidamente, dado que 2 está elevado a 3, quiere decir que tendremos también el 2·2=4 y el 2·2·2=8, que colocaremos debajo del 2.

(No tenemos que seguir colocando potencias de 2, pues solo llega a 2 elevado a 3).
Escogemos ahora otro factor, por ejemplo el 3. Éste está elevado a 1, por lo que solo colocaremos un 3. Este 3 lo podemos colocar a la derecha del 1, o debajo del 8. Pongámoslo debajo del 8.

Seguidamente multiplicaremos el 3 por todos los números que se encontraban ya escritos en su misma columna. 3·2; 3·4; 3·8.

A continuación escogemos el siguiente factor, el 5. Éste lo podemos colocar debajo del 24, pero nos quedaría una tabla demasiado alargada, por lo que escogemos ponerlo a la derecha del 1.

Al estar elevado a 1, no tenemos que añadir ninguna potencia de 5. Escogemos el siguiente factor, el 7. Lo colocamos al lado del 5, y lo multiplicamos por éste, colocando el resultado junto al 7.

El 7 también estaba elevado a 1, por lo que no hemos puesto ninguna de sus potencias. Una vez colocados todos los factores primos en una fila y columna alrededor del 1 inicial, y los productos con los números de la misma fila o columna (casillas sombreadas), solo nos queda rellenar las casillas centrales que se formarán con los productos entre esa fila y columna sombreada:

Como vemos la tabla que hemos obtenido tiene dimensiones de 8x4=32 casillas, que es el número de divisores que tenía 840 por lo que sabemos que ya no tenemos más, empezando por el 1 y acabando con el 840. Luego tenemos los mismos números, pero negativos, ya que estamos buscando los divisores enteros. No los olvides cuando te pidan todos los divisores enteros de un número.
Ahora puedes ver el siguiente vídeo en el que se muestra otro ejemplo. Se trata de hallar todos los divisores de 1050. Antes de ver el vídeo puedes resolver el ejercicio y luego comprobar si lo has hecho bien. Ver vídeo.

M.C.M. y M.C.D.

Tras estas siglas se esconde lo que conocemos como mínimo común múltiplo y máximo común divisor de dos o más números enteros. Ambos conceptos resultan muy útiles en la resolución de problemas específicos, pero también en operaciones entre fracciones.
El m.c.m. o mínimo común múltiplo de dos números es, como indica su nombre, el primer múltiplo que coincide (o común) de ambos números. Podríamos hacer una lista de los múltiplos de los dos números en cuestión y ver cual es el primero que coincide, pero resulta más práctico y rápido hacer lo siguiente: primero descomponemos en factores primos ambos números, y seguidamente buscamos los factores comunes y los no comunes de ambos pero estando ellos elevados al mayor exponente que encontremos. El mcm será el producto de dichos factores. Pongamos un ejemplo. Halla el mcm de 15 y 6. Para ello descomponemos primero ambos números. 15=3·5 y 6=2·3. Los factores comunes son el 3 y los no comunes el 2 y el 5. Todos ellos vemos que como máximo aparecen elevados a 1, por lo que el mcm será: 3·2·5=30. Para comprobar que no nos hemos equivocado, vemos que 30 es divisible tanto por 15 como por 6.
El mcm será muy útil en el tema siguiente cuando debamos sumar o restar fracciones, pero también se aplican a problemas en los que debamos calcular cuantas veces coinciden objetos o situaciones que se repiten periódicamente, como ocurre en el siguiente vídeo.
El m.c.d. o máximo común divisor de dos números es el número que divide simultáneamente a dos números dados, pero que además es el más grande que podemos encontrar. Podríamos hallarlo buscando todos los divisores de los números en cuestión, y viendo entonces cual es el divisor común mayor, pero es más rápido si procedemos de la siguiente manera: primero descomponemos ambos números y luego tomamos los factores comunes pero en este caso con el menor exponente al que lo encontremos. Por ejemplo: busca el m.c.d. de 36 y 60. Para ello primero descomponemos ambos números:

Por tanto, los factores comunes son el 2 y el 3. El 5 no es común y por tanto no se deberá tomar. Además el menor exponente con el que encontramos al 2 es 2 y al 3 es 1. Por lo que el m.c.d. (36,60)=2·2·3=12.

Factor común
Dada una expresión numérica en la que aparezcan sumas y restas de números enteros y potencias de los mismos, si nos piden que saquemos el factor común, procederemos de la siguiente manera (lo explicaremos mediante un ejemplo):
Saca factor común:

Lo primero que haremos será calcular el signo final que tendrá cada término. El primero de los términos tiene todos sus factores positivos, por lo que ese término será positivo. En el segundo término ya tenemos algunos factores negativos, pero además tenemos potencias de números negativos. Recuerda que si el exponente es par el factor siempre queda positivo, pero si el exponente es impar, nos quedará negativo si el factor era negativo y positivo si el factor era positivo. Así:

 por ser par

Sin embargo:

 por ser impar

A continuación aplicamos la ley de los signos. Tenemos tres signos menos (el que había delante del segundo término, el del 3, y el del 5) haremos menos por menos igual a más. Pero luego más por menos da menos. Así que el segundo término nos quedará negativo.

Analicemos el tercer término. Aquí tenemos una potencia par, las potencias pares siempre son positivas. Luego aplicamos la ley de los signos. Tenemos un más al principio del término y un factor positivo y otro negativo, así que más por más es más, pero luego más por menos dará menos. Así que el tercer término será negativo.

Una vez analizados los signos solo nos quedará un signo para cada término, que en el ejemplo será:

A continuación descompondremos en factores primos aquellos que sean compuestos, en este caso solo el 21 y el 15 (21=7·3 y 15=5·3). El 15 además está elevado al cuadrado por lo que tanto el 5 como el 3 de la descomposición del 15 quedarán elevados al cuadrado.

Finalmente el último término haremos el producto de 3 a la 2 y del 3. Producto de factores de la misma base dejamos la base y sumamos los exponentes. Así quedará 3 al cubo.

Hasta que no hemos llegado a este punto del ejercicio no conviene sacar factor común, ya que podríamos equivocarnos. Los factores comunes son aquellos que se repiten en los 3 términos. En este ejemplo tanto el 3, el 5 como el 7 se repiten en los tres, por lo que son factores comunes. Pero luego elevaremos cada factor común al menor exponente que tenga en los tres términos. El 3 está elevado a 1 en el 2º término, el 5 a la 2 y el  7 a la 1. Este será el factor común (el factor común en realidad es el máximo común divisor):

Una vez sacado el factor común, éste quedará multiplicado por los tres términos entre paréntesis, pero habiendo extraído de cada término los factores necesarios.

Hasta aquí ya hemos realizado el ejercicio, pero ahora podríamos operar el interior del paréntesis y nos quedaría:

El 41 es un número primo. De ser compuesto lo descompondríamos en factores y si coincidiera con alguno de los ya escritos se operaría con ellos.