Tema 3: Polinomios

En este tema realizaremos operaciones entre polinomios, los factorizaremos mediante diferentes métodos y simplificaremos expresiones algebraicas.

Antes de empezar el tema debes recordar las operaciones entre monomios, especialmente la suma de monomios semejantes. También debes dominar las operaciones con potencias y las identidades notables.

División de polinomios.

Es posible realizar la división entre dos polinomios si el grado del divisor es menor o igual que el grado del dividendo. Por ejemplo, realiza la división entre los siguientes polinomios:

Para saber cual será el primer monomio del cociente realizamos la división sencilla entre los dos monomios de mayor grado:

Así sabemos que toca a 2x:

A continuación hacemos el producto del 2x por el divisor y el resultado lo colocamos debajo del dividendo, pero cambiando el resultado de signo, para que así luego tengamos que hacer una suma y no una resta. Procuraremos que queden alineados los términos de igual grado (monomios semejantes) que serán los que se sumen entre sí. Para ello es conveniente escribir el dividendo dejando huecos allí donde falte un término por ser el coeficiente igual a cero.
Primero multiplicamos y cambiamos el signo:

y a continuación sumamos:

Puesto que el resto es un polinomio de grado menor que el del divisor, la división ya se ha completado. Si no volveríamos a realizar los mismos pasos.
Ahora observa el siguiente vídeo en el que encontrarás otro ejemplo resuelto:

A continuación muestro otro ejemplo en vídeo:

Ahora tienes que practicar. En ematematicas encontrarás una tarea con el título cociente de polinomios para que practiques.

Regla de Ruffini
La regla de Ruffini nos permite realizar la división entre dos polinomios de forma más rápida y sencilla, sin embargo, únicamente será posible utilizar esta regla cuando el divisor sea un polinomio del tipo (x-a) o (x+a).
Pongamos un ejemplo. Realiza la siguiente división utilizando la regla de Ruffini:

Primero situamos los coeficientes del polinomio a dividir (dividendo) en una tabla como la siguiente, y también situamos el término independiente del divisor cambiado de signo en la parte inferior izquierda:

Mucho cuidado con no olvidarse de los coeficientes que son 0 como es el caso del término de segundo grado. Estos términos no aparecen en el polinomio pero se deben tener en cuenta.
A continuación bajamos el primer coeficiente (el del término de mayor grado) y lo multiplicamos por el término independiente, el resultado del producto lo colocamos en la casilla inmediatamente debajo del siguiente coeficiente (en este caso el del 0).

Seguidamente se suman el 0 y el 2 y el resultado se coloca debajo. Luego se repite el proceso. Se multiplica el resultado de la suma por el término independiente y se coloca bajo el -2 (2x2=4). Luego se suma el -2 y el 4 (-2+4=2), luego se vuelve a multiplicar el término independiente por el resultado de la suma (2x2=4) y se coloca bajo el 1 que se suman (1+4=5).

Una vez llegados a este punto, encuadramos el último número obtenido (el 5). Este número es el resto de la división. El resto de números son los coeficientes del polinomio cociente de la división. Es un polinomio de un grado inferior al dividendo. En este ejemplo el dividendo tenía grado 3 y el cociente tendrá grado 2. El cociente que nos queda es:

Observa ahora el siguiente vídeo que te ayudará a acabar de entender el método:

Ahora te toca practicar. En ematematicas.net tienes una tarea con el nombre regla de Ruffini para que practiques.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio significa convertirlo en un producto de factores. Los factores en el caso de los polinomios son binomios de primer grado del tipo (x+a). Donde a es un número real, aunque nosotros trabajaremos con números enteros. Al factorizar un polinomio también es posible que aparezcan factores numéricos. Por ejemplo: 3·(x-2)·(x+3) Se trata de la factorización de un polinomio donde tenemos dos factores con x y un factor sin x (el 3).
La factorización de los polinomios resultará útil en muchas situaciones: para sacar factor común, para simplificar, para realizar sumas de expresiones algebraicas...Es decir, en las mismas situaciones en las que nos era útil descomponer un número en factores.
Existen varios métodos para factorizar un polinomio: regla de Ruffini, resolución de ecuaciones, identidades notables, sacar factor común...

Regla de Ruffini para factorizar un polinomio. Dado un polinomio que queramos factorizar, podemos utilizar la regla de Ruffini anteriormente estudiada para ese propósito. Para ello colocaremos los coeficientes del polinomio como si lo fuéramos a dividir, pero ahora no sabemos de entrada por qué número lo vamos a dividir. Sin embargo ese número deberá ser tal que el resto nos de 0, ya que así el factor correspondiente será un factor que divida de forma exacta al polinomio.
Por ejemplo: factoriza el siguiente polinomio utilizando la regla de Ruffini:

Primero situamos los coeficientes en la tabla para realizar la regla de Ruffini:

En este caso no nos han dicho por qué número tenemos que dividir, solo sabemos que tienen que ser número que nos den resto 0. Pues bien, los únicos números enteros que nos pueden dar resto 0 son los divisores enteros del término independiente del polinomio a factorizar (en este caso del -12). Así que tendremos que ir probando todos los divisores de -12, que son: 1.-1,2.-2,3,.3,4.-4.6.-6,12,-12.
Empezaremos probando con los números más bajos, probamos primero el 1:

Dado que el 1 nos ha dado resto 0, el (x-1) es uno de los factores que buscábamos. (Recordad que en el factor el número queda cambiado de signo, el factor siempre es (x-a) siendo a el número que nos ha dado resto 0).
A continuación, en lugar de dividir el polinomio inicial, seguimos con el polinomio cociente y volvemos a probar con el 1 por si fuera un factor que se repite:

No da resto 0 por lo que el 1 ya no constituye ningún factor más. Pasamos a probar otros números: el -1 tampoco nos da resto 0. Probamos el 2:

Como el 2 nos da resto 0, entonces (x-2) es otro de los factores que buscábamos. Probamos con el cociente que nos queda otra vez el 2 pero ya no da resto 0. Probamos entonces con el -2:

Por tanto (x+2) es otro factor. Finalmente dividiríamos por 3 y vemos que (x-3) es el último factor que buscábamos.
Así el polinomio una vez factorizado totalmente quedará:

En este caso el factor numérico es 1 (corresponde al coeficiente del término de mayor grado).

Simplificación de fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es una fracción entre polinomios. Igual que en las fracciones entre números, también se puede buscar la fracción irreducible cuando son fracciones algebraicas. En 2º de ESO ya estudiamos cómo simplificar fracciones usando las identidades notables, pero este año, además utilizaremos la regla de Ruffini. También usaremos el factor común para casos más complejos. Pongamos un ejemplo. En la siguiente fracción algebraica, descompón numerador y denominador y simplifica los factores que se pueda.

Para descomponer tanto numerador como denominador podemos utilizar la regla de Ruffini, pero en el caso del numerador, al no tener término independiente, la descomposición es inmediata: basta con sacar x factor común:

En cuanto al denominador sí que es necesario que utilicemos la regla de Ruffini.

Por lo que los factores en los que se puede descomponer el denominador son: (x+1)·(x-1)·(x+2). La fracción algebraica quedará una vez factorizados numerador y denominador:

Ahora podemos simplificar los factores comunes. En este caso únicamente será el (x+2). Finalmente nos quedará, una vez simplificado este factor:

Hemos podido hallar la fracción algebraica irreducible pero habiendo tenido que factorizar previamente.
Pongamos otro ejemplo. Factoriza los polinomios entre paréntesis, saca factor común y simplifica la siguiente fracción algebraica:

Cada uno de los dos polinomios del numerador, así como el polinomio del denominador, los descompondremos mediante Ruffini:

En el denominador podríamos haber sacado x factor común, pero si usamos la regla de Ruffini directamente, uno de las raíces será 0, que corresponderá al factor (x-0)=x
Así que la fracción algebraica factorizada quedará:

Seguidamente sacamos los factores comunes del numerador:

Obteniendo la fracción algebraica irreducible.
También podríamos haber procedido realizando primero la resta de los dos polinomios del numerador y luego factorizando y simplificando, pero finalmente el resultado hubiera sido el mismo.