Tema 5: Sistemas de ecuaciones

En este tema practicaremos la resolución de sistemas de ecuaciones de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Gauss y aprenderemos a discutir las soluciones de sistemas con parámetros. También resolveremos sistemas de ecuaciones no lineales.


Método de Gauss.

El método de Gauss es un método de resolución de sistemas de ecuaciones que en realidad se corresponde con el método de reducción estudiado en cursos anteriores. Sin embargo, para aplicar el método seguimos una serie de pasos que hacen que todo resulte más sencillo y mecánico.
En un primer paso lo que haremos será copiar solo los coeficientes (los números que multiplican a las incógnitas) en una matriz (como una especie de tabla). También copiaremos los términos independientes en la última columna de la matriz, separándolos del resto de números por una línea vertical que representaría el igual. Por ejemplo, dado el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

La matriz correspondiente sería:

Cuestiones a tener en cuenta: 
1º: el coeficiente incluye el signo, por lo que si es positivo se pone positivo, pero si es negativo se pone negativo.
2º: Es posible cambiar el orden de las filas y el de las columnas (excepto la última columna que corresponde a los términos independientes). Nos resultará útil cambiar el orden cuando queramos que aparezca 1 en el primer número de arriba a la izquierda (en este caso ya lo hay).
3º: En caso de cambiar el orden de las columnas es conveniente indicar arriba de cada columna a qué incógnita correspondía.
Ahora ya estamos en disposición de iniciar el método. Para ello ponemos en un círculo el primer número (arriba a la izquierda) y trazamos desde éste una diagonal, tal como:

Con este método lo que se pretende es que todos los números que queden por debajo de la diagonal trazada se conviertan en ceros. Para ello empezaremos con poner ceros en los números que quedan por debajo del número incluido en el círculo. 

El proceso a seguir es muy sencillo. Multiplicamos toda la primera fila por -2 y la sumamos a toda la segunda fila. El resultado obtenido de esta operación reemplazará a toda la segunda fila.

La primera fila, aunque se haya multiplicado por 2, cuando la tengamos que volver a escribir, la dejaremos como estaba, y en la segunda fila irán apareciendo los siguientes números: -2·1+2=0; -2·(-1)+1=3; 
-2·2+(-3)=-7; -2·6+(-5)=-17.

Para la tercera fila procedemos de la misma forma, pero en este caso multiplicaremos la primera fila por 3 y la sumaremos a la tercera fila, colocando el resultado de esta operación en la tercera fila.

Las operaciones serán: 3·1+(-3)=0;  3·(-1)+6=3;  3·2+4=10;  3·6+(-1)=17. Con lo que nos quedará:

Ya hemos conseguido tener ceros debajo del primer número de la diagonal principal. A continuación ponemos en círculo el siguiente número de dicha diagonal:

Ahora deberemos conseguir que aparezca un cero debajo del número en el círculo. Para ello multiplicaremos la segunda fila por -1 y la sumaremos a la tercera. El resultado lo pondremos en lugar de la tercera fila, dejando las dos primeras igual a como estaban. Las operaciones (obviando el caso de los ceros) serán: -1·3+3=0; -1·(-7)+10=17; -1·(-17)+17=34 y la matriz quedará:

Ahora ya tenemos ceros por debajo de la diagonal. También tenemos que recordar que cada columna se corresponde con los coeficientes de cada una de las incógnitas:

De esta forma lo que hemos conseguido es tener un sistema equivalente pero más simple. La última fila se corresponde con la ecuación: 17·z=34. Ecuación que se resuelve rápidamente: z=2.
La segunda fila se corresponde con la ecuación: 3·y-7·z=-17; como ya sabemos que z=2, nos queda:
3·y-7·2=-17; 3·y=-17+14; 3·y=-3; y=-1.
Ahora que ya conocemos el valor de z e y podemos averiguar el valor de x en la primera ecuación (la que no ha cambiado desde el principio): x-y+2z=6; x+1+2·2=6; x=6-4-1; x=1.
La solución del sistema es, por tanto: x=1; y=-1; z=2.

Observa ahora el siguiente vídeo para ver otro ejemplo explicado:

Ahora practica con los siguientes sistemas.

Ver esta web donde encontrarás diferentes recursos.

Sistemas con parámetros
El método de Gauss nos permite discutir las soluciones de un sistema según los valores de un parámetro. Es decir, dependiendo de los valores que pudiera tener una nueva incógnita introducida en el sistema, éste podría tener una única solución (Sistema Compatible Determinado: SCD), o infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado: SCI), o cero soluciones (SI).
Imaginemos un sistema con x,y,z como incógnitas que depende de un parámetro "m" y que tiene como matriz asociada:

Procederíamos a resolverlo por Gauss como si "m" fuera un número más. Multiplicamos la primera fila por 
-m y la sumamos a la segunda. Luego a la primera fila le restamos la tercera. La matriz se convierte en:

Ahora sería conveniente cambiar el orden de las columnas. Intercambiamos la segunda con la tercera columna (también cambiará y por z). Obtendremos:

Ahora pasamos a discutir las posibles soluciones del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro "m". Vemos que si m=1 la última fila nos quedaría todo ceros excepto el término independiente. Ello equivale a tener una ecuación del tipo 0=1, lo cual no tiene sentido. Por ello concluimos que si m=1 entonces el sistema es incompatible. En cualquier otro caso el sistema será compatible determinado.

En general, cuando nos quede una fila de ceros excepto el término independiente tendremos un SI. Cuando lo que nos quede es una fila completa de ceros, tendremos un SCI (ojo! siempre y cuando partiéramos de un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas). En cualquier otro caso será un SCD.


Sistemas de inecuaciones.

También podemos resolver sistemas de inecuaciones de la misma forma que resolvimos las inecuaciones de 2 incógnitas: mediante la representación gráfica.
Vayamos a explicarlo mediante un ejemplo.

Lo que tenemos que hacer es representar gráficamente cada una de las ecuaciones de las rectas que se obtienen al cambiar la desigualdad por un igual.

Lo que se obtiene es entonces un sistema de ecuaciones. Para representar cada una de las rectas basta con hallar dos puntos que pertenezcan a cada una de las rectas. Para ello escogemos un valor de x (o de y) y calculamos el correspondiente para y (o x). Ambos puntos los podemos mostrar en una tabla de valores.

Cada tabla se corresponde con una de las ecuaciones. La primera con la primera y la segunda con la segunda. Es posible escoger cualquier valor de x o de y, siempre podremos encontrar el correspondiente de y o de x. Y basta con dos puntos ya que por ellos únicamente pasa una recta. Pasamos ahora a representar las rectas sobre unos ejes de coordenadas.

La recta de color naranja se corresponde con la primera ecuación y la de color azul con la segunda. Es importante no confundir una con otra, por lo que es recomendable identificarlas de alguna manera.
El siguiente paso es representar las inecuaciones. La inecuación se representará mediante un semiplano. En cada caso será el semiplano que quede por arriba o por debajo de cada recta. Eso es lo que se trata de averiguar a continuación. Para la primera recta escogemos el punto (0,0) que queda por debajo de esa recta, y lo substituimos en la inecuación.

 Dado que 0 no es menor que -1, el (0,0) no forma parte del semiplano solución de la primera inecuación. Por lo que deberíamos sombrear el otro semiplano, el que queda por encima de la recta.

Para la segunda recta no podemos escoger el (0,0) pues la recta pasa por encima. Escojamos el (1,3) que claramente esta por arriba de la recta y lo substituimos en la segunda inecuación.

Dado que 10 sí que es mayor que 0, el (1,3) pertenece al semiplano solución de la inecuación y por lo tanto sombrearemos la parte de arriba de la segunda recta.

La solución del sistema de inecuaciones es la que queda sombreada dos veces, que en nuestro caso lo hemos pintado de color canela.
Observa el siguiente vídeo en el que se muestra otro ejemplo: