Tema 14: Probabilidad

En este tema aplicaremos lo estudiado en el tema de combinatoria para poder calcular la probabilidad de determinados sucesos. Primero haremos una introducción teórica para conocer los términos que luego utilizaremos, así como algunas propiedades. Finalmente estudiaremos la probabilidad condicionada y una aplicación a unos problemas determinados gracias al Teorema de Bayes.

Conceptos
Antes de empezar con la definición de probabilidad es necesario explicar un poco lo que vamos a hacer y definir algunos conceptos que luego utilizaremos. Por ejemplo, qué es un experimento aleatorio. En los experimentos de laboratorio lo que se espera es que los resultados sean predecibles, estén determinados por la teoría. Pero existen una serie de experimentos en los que no es posible controlar el resultado del mismo. Cada vez que repetimos el mismo experimento el resultado cambia. El ejemplo típico de experimento aleatorio es el lanzamiento de un dado. En los experimentos aleatorios no podemos predecir el resultado de un lanzamiento, pero sí que podemos estudiar unas leyes generales cuando realizamos muchos lanzamientos. Esto nos llevará al concepto de probabilidad.
Espacio muestral. Llamaremos espacio muestral al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral suele designarse mediante la omega mayúscula:

En el ejemplo del dado el espacio muestral sería:

Prueba. Se llama prueba a cada una de las realizaciones del experimento aleatorio. En el caso del ejemplo sería un lanzamiento del dado.
Llegamos ahora al concepto más importante de los que estamos dando (todos tienen su importancia), es el concepto de suceso. Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, en el caso del dado, un suceso podría ser que el resultado fuera un número par, el suceso sería:

También podríamos pensar en el suceso: que salga un número impar.

Y así podemos pensar en muchos subconjuntos del espacio muestral. Al conjunto de todos los sucesos posibles se le llama partes de Omega. A los sucesos con un solo elemento se les llama sucesos elementales. En el caso del dado tendríamos 6 sucesos elementales. ¿Sabrías decir cuantos sucesos tiene las partes de omega de ese experimento?.
Diremos que un suceso se verifica en una prueba si el resultado es uno de los elementos de ese suceso. Por ejemplo, para el suceso PAR, si el resultado nos ha dado un 6, decimos que el suceso se ha verificado, ya que 6 es uno de los elementos que están en el subconjunto PAR.
Al suceso Omega se le llama suceso seguro, mientras que al suceso conjunto vacío se le llama suceso imposible.
Unión de sucesos. Llamaremos suceso unión de A y B al que se verifica cuando en una prueba el resultado es un elemento de A o de B (o de ambos). En términos de conjuntos corresponde a la reunión:

(En muchas ocasiones se dice que la unión es como la suma, pero debemos ir con cuidado, porque no se está hablando del mismo tipo de elementos, la suma se hace con números, mientras que la unión se hace de conjuntos)
Intersección de sucesos. Llamaremos suceso intersección de A y B al suceso que se verifica cuando en una prueba el resultado es un elemento de ambos. En términos de conjuntos corresponde a:

Al igual que sucede con los números, y las operaciones entre números, aquí también se pueden definir una serie de propiedades como son: la asociativa, conmutativa, idempotente, elemento neutro, absorvente, distributiva, leyes de Morgan, complementarios...que no vamos a mostrar en este momento, aunque sí que hablaremos de las leyes de Morgan posteriormente.
Sucesos incompatibles. Dos sucesos A y B se llaman incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente, es decir, que la intersección entre ambos conjuntos es nula. Existen muchos ejemplos posibles en el caso del lanzamiento del dado. Por poner algunos A={1,2} B={5,6} No hay ningún elemento que esté a la vez en A y en B.

Sucesos contrarios. Dos sucesos contrarios, además de ser incompatibles, la suma de ambos nos da todo Omega. En teoría de conjuntos a la suma se la representa mediante la unión. (Aunque la suma y la unión no tienen el mismo significado, ya que no siempre hacer una unión da como resultado una suma directa de elementos).

En el ejemplo del dado, el caso más típico de sucesos contrarios (que no el único) es el de PAR e IMPAR. Está claro que son incompatibles ya que no tienen elementos comunes y también la suma de ambos nos da Omega. Para los sucesos contrarios se da la circunstancia de que si se ha dado uno de ellos ya sabemos que no se ha podido dar el contrario. Es decir, si sé que el lanzamiento de un dado ha salido PAR, también sé que no ha salido ni 1, ni 3, ni 5 (no ha salido IMPAR).
El suceso contrario a A también suele designarse mediante:

Probabilidad
La probabilidad se define como una aplicación entre el conjunto de sucesos y un intervalo que va entre [0,1]
Es decir, a cada suceso le hacemos corresponder una probabilidad (un número) comprendido solo entre 0 y 1. Además se debe cumplir que la probabilidad del suceso seguro sea 1 y que la probabilidad de la unión de dos sucesos sea la suma de las probabilidades de ambos sucesos menos la probabilidad de la intersección.

A partir de la definición y de los dos axiomas (que no necesitan demostrarse ya que forman parte de la definición), sí que es posible demostrar otras propiedades, como que la probabilidad del suceso imposible sea igual a 0, la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario tenga que ser 1: 

o las leyes de Morgan.

Leyes de Morgan. Las leyes de Morgan son propiedades de la unión e intersección de sucesos, pero que al calcular la probabilidad nos dan:

Estas lesyes pueden demostrarse utilizando diagramas como el siguiente:

Para realizar la demostración solo tenemos que ir sombreando los sucesos que hay a cada lado de la igualdad y comprobar que finalmente llegamos al mismo resultado, es decir, a haber sombreado lo mismo.A continuación vemos un ejemplo de aplicación de las leyes a un problema concreto:

También se deduce a partir de la definición de probabilidad el teorema de la probabilidad total.

Teorema de la Probabilidad total
Se trata del teorema en el que vemos que no siempre la unión es solo una suma.

Este teorema es fácilmente demostrable si utilizamos diagramas como los que hemos utilizado para demostrar las leyes de Morgan, además es fácilmente extrapolable a 3 sucesos (o más).

Regla de Laplace
La regla de Laplace nos permite calcular de forma práctica la probabilidad de un suceso (siempre y cuando todos los sucesos elementales sean equiprobables).
La regla es la siguiente:

Pongamos un ejemplo para verlo más claro. Sea el experimento: lanzar un dado. Si buscamos la probabilidad del suceso que salga un 6, tenemos como casos favorables solo 1 caso: el 6, pero de casos totales tenemos 6 casos, por las 6 caras del dado. Así la probabilidad de que salga un 6 al tirar un dado (perfecto) es de 1/6.
Veamos otro ejemplo de aplicación. Si tenemos una baraja española formada por 48 cartas (12 de cada palo), ¿cual es la probabilidad de que al extraer una carta al azar sea una figura?
Los casos favorables son las 12 figuras (3 de cada palo), mientras que los casos totales son las 48 cartas. Así que P(Figura)=12/48=1/4.
Un problema típico en el que también hacemos uso de la regla de Laplace es aquel en el que lanzamos dos dados y nos piden la probabilidad de que la suma (también podría ser cualquier otra operación) de las puntuaciones de los dos dados sea mayor o igual que 5.
Este problema se puede resolver colocando los resultados en una tabla en la que las puntuaciones de los dados se colocan en los laterales de la tabla, mientras que en las casillas centrales se va escribiendo el resultado de la suma de los dos valores que se corresponden con esa casilla. Es decir:

Fijaros que hay resultados que se deben contabilizar dos veces ya que los dos dados son distinguibles. Ahora, para aplicar la regla de Laplace solo tenemos que contar los casos favorables, es decir, todos los casos cuya suma sea mayor o igual que 5. En la siguiente tabla los hemos sombreado:

En total son 30 casos favorables, mientras que los casos totales son 36 (solo contamos la suma de los dados, es decir, las casillas centrales). Así tenemos:

Probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada nos aparece en aquellos casos en los que nos piden una probabilidad sabiendo que se ha dado un resultado en un experimento previo. Por ejemplo, calcula la probabilidad de que   al extraer una carta de una baraja se un rey, sabiendo que hemos sacado una figura. En ese caso, al aplicar la regla de Laplace, deberíamos tener en cuenta cuales son los nuevos casos totales. Los casos favorables son los 4 reyes, mientras que los casos totales ahora no son las 48 cartas, si no solo las 12 figuras. Así sabiendo que hemos sacado una figura, la probabilidad de que sea rey es: 4/12=1/3.
La probabilidad condicionada tiene, pero, una fórmula, que es:

Aplicada al ejemplo anterior sería: la probabilidad de la intersección entre figuras y reyes (figuras que también son a la vez reyes siguen siendo 4 y totales son 48) entre la probabilidad del que condiciona, es decir, la probabilidad de figura (la probabilidad de que salga figura es de 12/48=1/4). Así:

Obteniéndose el mismo resultado.
Veamos un ejemplo de aplicación de la fórmula en un vídeo en el que además se utiliza un diagrama en árbol, y la probabilidad del contrario.

Como acabamos de ver, una de las aplicaciones de la probabilidad condicionada aparece en los problemas que se resuelven mediante un diagrama en árbol. En estos diagramas, cada experimento representa una de las bifurcaciones (trifurcaciones...). La siguiente bifurcación ya representará una probabilidad condicionada cuando calculemos la probabilidad de cada opción (de cada rama), si es que los experimentos no son independientes. Veamos un ejemplo en el siguiente vídeo:

Sucesos independientes
Dados los sucesos A y B con probabilidades distintas de 0, diremos que A es independiente de B si:

Si dos sucesos son independientes cumplen:

Teorema de las probabilidades totales y Teorema de Bayes
Estos dos teoremas en los que aparece la probabilidad condicionada, se aplican a un tipo de problemas muy concreto. Vamos a introducirlos aprovechando la resolución de uno de estos problemas. Supongamos que en un colegio hay 4 clases de la ESO y que en cada clase hay: 17 alumnos en 1º de ESO; 22 alumnos en 2º de ESO; 21 alumnos en 3º de ESO; y 15 alumnos en 4º de ESO. En cada curso han hecho unos exámenes de competencias básicas del área de inglés y han superado el examen: 15 en 1º de ESO; 19 en 2º de ESO; 20 en 3º de ESO; 10 en 4º de ESO. Ahora se plantea lo siguiente. Estando todas las clases mezcladas en el patio escogemos un alumno al azar y le preguntamos si ha superado la prueba de inglés, y nos dice que no. ¿Qué probabilidad hay que sea de 4º de ESO?
De entrada lo que haremos será distribuir los datos del enunciado de la siguiente manera:

Las probabilidades que hay en el interior del óvalo son condicionadas. La probabilidad de suspender sabiendo que eres de 1º de ESO es de 2 alumnos suspendidos entre 17 alumnos totales, y así sucesivamente...
Lo que nos piden es algo que no aparece entre los datos del enunciado: la probabilidad de ser de 4º de ESO sabiendo que está suspendido:

Para hallar esta probabilidad lo que hacemos es aplicar una propiedad de la probabilidad condicionada:

Ahora solo tenemos que despejar lo que necesitamos. La fórmula obtenida es lo que se conoce como Teorema de Bayes:

Sin embrago, todavía no podemos realizar todo el cálculo, pues todavía hay una probabilidad que no conocemos, y es la probabilidad de suspender. Esta probabilidad que encontramos en el denominador se calcula de la siguiente manera:

Esta fórmula se denomina Teorema de las Probabilidades Totales, y puede deducirse fácilmente a partir de un diagrama en árbol.  En la primera bifurcación separamos los 4 cursos, y en cada curso separamos dos ramas: aprobados y suspendidos. Luego escogemos las opciones que nos conducen a suspendido.
Pasamos ahora a resolver el problema. Primero calculamos el denominador:

En este problema, por la forma en que nos han dado los datos, hubiera sido posible calcular la probabilidad de suspender de forma directa a partir de la regla de Laplace.
Finalmente, la probabilidad que me pedían en el enunciado será:

De nuevo, por la forma de dar los datos, parece que el cálculo hubiera podido hacerse de forma directa. El resultado son los suspendidos en 4º respecto a los suspendidos totales: 11. Pero no siempre será posible hacerlo mediante la regla de Laplace y entonces será necesario utilizar todo el proceso explicado: teorema de las Probabilidades Totales y luego Teorema de Bayes.