Tema 5: Expresiones Algebraicas

El álgebra permite expresar mediante un lenguaje matemático enunciados de problemas. A partir de las expresiones algebraicas podemos escribir ecuaciones, fórmulas...En este tema aprenderemos a operar con monomios y polinomios y sobre todo veremos lo útiles que son las conocidas como identidades notables.

Operaciones con expresiones algebraicas

Identidades Notables.

Las famosas identidades notables son, en primer lugar, identidades. Es decir, igualdades entre 2 expresiones algebraicas que se verifican para cualquier valor por el que se substituyan las variables.
Existen muchas identidades que pueden catalogarse de notables (importantes), pero son los llamados productos notables los más utilizados. Éstos son:

Las tres identidades se leen respectivamente:
El cuadrado de una suma es el cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término. (En lo sucesivo omito repetir la palabra término).
El cuadrado de una resta es el cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
La suma por la diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.
Las tres identidades se demuestran fácilmente realizando el producto entre los binomios:

Veamos algunos ejemplos. Empezaremos por el sentido en el que resulta más fácil aplicarlas, es el sentido en  el que los hemos escrito. Aunque siempre es posible realizar el producto, es muy recomendable aprendérselos de memoria. Desarrolla las siguientes identidades notables:

Este primer ejemplo se corresponde con la primera identidad, donde a=x y b=3. El término 6x se corresponde con el doble (2) del primero (x) por el segundo (3).

En este caso hemos aplicado la segunda identidad, observa que únicamente se diferencia de la anterior por el signo menos del binomio y del doble del primero por el segundo. El error más habitual es el de olvidarse el término del doble del primero por el segundo.

La tercera identidad difiere de las anteriores. Al tener signos opuestos el producto cruzado tiene diferente signo y se anula entre sí dando lugar a un polinomio con solo dos términos (a diferencia de los anteriores que tenían 3).

Observa a continuación estos vídeos en los que podrás ver más ejemplos:

Una de las principales aplicaciones de las identidades está en la factorización de polinomios, es decir, convertir unas sumas y restas en productos. Pero esto implica que debemos utilizar las identidades en el sentido opuesto al que las hemos escrito. Este paso es un poco más complicado, pero mucho más útil. Factoriza los siguientes polinomios:

¿Cómo distinguir las tres identidades? Las dos primeras tienen 3 términos, la última solo 2. La primera y la segunda se diferencian por el signo. Una vez identificada la identidad de que se trata, debemos ser capaces de escribirla como un producto de binomios. Para ello debemos sacar la raíz cuadrada de los dos términos de los extremos. De x al cuadrado nos quedamos con x y de 49 con 7. Ambos términos son los que formarán los binomios. Eso sí, debemos asegurarnos de que estamos ante una identidad notable, para ello basta con comprobar que el término central de las dos primeras identidades se corresponde con el doble del producto de ambos términos.
Observa el siguiente vídeo en el que veréis más ejemplos:

Ahora es momento de practicar. En la siguiente web podréis encontrar una aplicación que genera diferentes identidades que completar.Vigila que el signo menos lo tienes que escribir tu cuando sea necesario.

Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es una fracción en la que tanto en el numerador como denominador aparecen polinomios. Por ejemplo:

¿Qué podemos hacer con las fracciones algebraicas? Pues lo mismo que con las fracciones numéricas, es decir, operar fracciones entre sí, buscar la fracción irreducible...
En concreto, buscar la fracción irreducible significa simplificar la fracción al máximo. Pero tal y como nos la han dado resulta en principio imposible simplificarla. Para poder simplificarla lo primero que deberemos hacer obligatoriamente es factorizar los polinomios. Solo se pueden simplificar factores comunes a numerador y denominador. Para factorizar podemos utilizar las identidades notables que acabamos de estudiar. Sigamos con el ejemplo: simplifica la fracción algebraica anterior. Haciendo uso de las identidades notables escribiremos:

El factor común es (x-1) que simplificaremos de numerador y denominador obteniendo: