Tema 6: Semejanza

En este tema aprenderemos a utilizar el teorema de Tales, así como otros teoremas relacionados con triángulos rectángulos.

Teorema de Tales

Existen dos teoremas que reciben el mismo nombre. En este caso vamos a estudiar el teorema relacionado con las figuras semejantes. El enunciado del teorema puede resultar un poco confuso, pero su aplicación es sencilla y clara. Habitualmente se explica el teorema a partir del trazado de dos rectas no paralelas. Luego se trazan otras rectas o segmentos que cortan a las anteriores pero paralelas entre sí. El siguiente dibujo lo aclarará:

Las dos rectas de color negro han sido cortadas por 3 segmentos paralelos de color rojo. Los puntos de corte se han indicado mediante letras mayúsculas. De esta forma se han formado varios segmentos a partir de los cuales se enuncia el teorema.

Existe una proporcionalidad entre los segmentos que se han formado. También son proporcionales los segmentos interiores entre ellos y con los exteriores. Es decir, las dos figuras planas (trapecios en este caso) formadas son proporcionales entre sí. Por lo que si dividimos lados análogos nos aparecerá esa relación de proporcionalidad. Por ejemplo:

Hasta aquí el enunciado del teorema. Ahora veremos cómo podemos aplicarlo a situaciones prácticas. El teorema de Tales puede aplicarse en muchas situaciones en las que las dos rectas iniciales llegan a cruzarse y  en esos casos cuando las intersectamos con segmentos paralelos lo que obtenemos son triángulos.

Esos dos triángulos: ADE (el pequeño) y ABC (el grande) además de ser semejantes, se dice que están en posición de Tales, ya que podemos aplicar el teorema tal y como hemos visto. El teorema, en realidad, es una regla de tres. Nosotros conoceremos tres cantidades (3 segmentos) y tendremos que averiguar el que falta. La siguiente es una de las varias relaciones que se pueden establecer:

Imagina que conoces AB, AD y DE y te piden que averigues BC, basta con despejar BC como lo haces en las reglas de tres. Para ello pasamos DE multiplicando al otro miembro.
Pongamos un ejemplo. Juan mide 1,75 m y se encuentra a 1 m de la base de una farola. Juan proyecta una sombra de 0,75 m. que se superpone y acaba en el mismo punto que la sombre de la farola ¿Cual es la altura de la farola?
Ambas figuras se encuentran en posición de Tales. La relación entre la altura de la persona y su sombra es de 1,75/0,75, mientras que la relación entre la altura de la farola y su sombra es de x/1,75. Igualando ambas relaciones y despejando x obtenemos: x=1,75·1,75/0,75=4,083 m.