Tema 2: Números Reales

En este tema aprenderemos a situar ciertos números reales sobre la recta real aplicando el teorema de Pitágoras. Repasaremos los errores en las aproximaciones.

Antes de empezar el tema deberás dominar las aproximaciones de números decimales y la fracción generatriz estudias en el Tema 3: Números Decimales de 2º de ESO. y repasada en el Tema 1: Números Racionales de este curso. También debes dominar el cálculo con fracciones. También deberás recordar el Teorema de Pitágoras de cursos anteriores. El cálculo con potencias lo repasarás del curso anterior Tema 1: Números enteros de 2º de ESO

Representación sobre la recta real.

Para representar la raíz cuadrada no exacta de un número (un número irracional) sobre la recta real nos valdremos del teorema de Pitágoras. Si por ejemplo quisiéramos representar la raíz de 57 sobre la recta real, primero buscaríamos la raíz entera que más se le aproximara. La raíz entera de 57 es 7 ya que al elevar al cuadrado obtengo 49. (con 8 ya me pasaría). Ahora veo lo que le falta para llegar a 57. De 49 a 57 le faltan 8. Así que escribiría:

El 8 no lo pongo directamente, si no que tengo que elevarlo al cuadrado, por lo que por ese motivo también le hago la raíz cuadrada. Comprueba que el resultado del radicando de la segunda raíz da, efectivamente 57. El hecho de escribirlo de esa manera es que así se satisface el teorema de Pitágoras, siendo 7 y raíz de 8 los catetos y raíz de 57 la hipotenusa.
Seguidamente realizamos la misma operación con la raíz de 8.

Cuando llegamos a una raíz cuyo radicando ya no contenga a su vez más raíces, ya podemos pasar a representarlo gráficamente.

Error absoluto y relativo en la aproximación de un número decimal.

Cuando nos pidan que aproximemos un número decimal exacto o periódico, y seguidamente nos pidan que calculemos el error cometido en con esa aproximación, lo que deberemos hacer es hallar la fracción generatriz tanto del decimal que nos den en el enunciado, como del decimal aproximado.
Por ejemplo, dado el 1,252525... nos piden que lo aproximemos a las centésimas y que luego calculemos el error absoluto y relativo. Para realizar la aproximación lo primero que haremos será identificar la cifra que se corresponde con las centésimas (la pondré en negrita): 1,252525... (Si nos hubieran dado el número escrito de forma simplificada, es conveniente escribirlo de forma extendida para poder localizar la cifra a aproximar y evitar equivocarnos)

Llamaremos valor exacto al número decimal que nos han dado en el enunciado y valor aproximado al que vamos a aproximar por redondeo. En este caso, dado que después de la cifra de las centésimas tenemos un 2, el redondeo se realiza dejando la cifra de las centésimas tal cual, es decir dejando el 5, y el resto de cifras que vienen a continuación se las convierte en ceros. (Recordar que si la cifra siguiente hubiera sido un 5 o mayor que 5, entonces a la cifra que aproximamos le hubiéramos sumado una unidad).

Debemos tener claro cual es el valor exacto y cual el aproximado.
Una vez hecha la aproximación pasamos a hallar el error absoluto. El error absoluto es la resta entre el valor exacto y el valor aproximado. Pero para que esta resta nos de siempre positiva, se toma en valor absoluto. IMPORTANTE: El error absoluto siempre será positivo.

Para realizar la resta entre ambos números decimales, lo que haremos será primero expresarlos en forma de fracción. Para ello debes recordar el concepto de fracción generatriz y cómo hallarla. La fracción generatriz para cada uno de los decimales es:

Recuerda que el valor aproximado es un decimal exacto y que al buscar su fracción generatriz basta con dividir entre 1 y ceros (tantos como cifras decimales tenga el número).
Seguidamente restamos ambas fracciones en el interior del signo de valor absoluto. Para ello tendremos que buscar el mcm de 100 y 99.

En este caso el resultado ya nos da positivo, pero si hubiera dado negativo (en el supuesto que hubiéramos hecho la resta haciendo valor aproximado menos valor exacto) igualmente lo dejaríamos positivo.

Normalmente a continuación buscaríamos la fracción irreducible, pero dado que seguidamente vamos a calcular el error relativo dejamos la fracción tal cual, ya que será más cómodo para simplificar los cálculos posteriores.
El error relativo es la relación (cociente) entre el error absoluto y el valor exacto.

Este error se calcula para relativizar el error absoluto en relación a la cantidad inicial. De esta manera es posible comparar diferentes errores.
Vamos a calcularlo:

Gracias a no haber puesto la fracción generatriz, ahora ha sido muy fácil simplificar el 99 (y en otros casos incluso también los ceros).

Intervalos

Un intervalo es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores a y b. Por ejemplo, el intervalo de extremos 2 y 3 (ambos incluídos) sería: [2,3], que sobre la recta real se representaría por:

Este intervalo recibe el nombre de cerrado, al estar incluidos los extremos. Ello se indica mediante los corchetes y en el gráfico se indica rellenando los círculos.
También podríamos considerar un intervalo abierto como el (2,3) en el que los extremos se excluyen del intervalo, es decir, que ni 2 ni 3 están incluidos. Este tipo de intervalo se representa:

En este caso los corchetes son paréntesis y los círculos no se rellenan. El caso del intervalo abierto es curioso, ya que no tiene extremos, pues no es posible encontrar el mayor o menor número que pertenezca al intervalo. Por ejemplo, si considero el 2,999 puedo ver que el 2,9999 es mayor, pero también el 2,99999. Siempre habrá quien diga que el mayor será el 2,99999... hasta el infinito (periódico), pero como hemos visto éste es exactamente igual a 3 que ya no pertenece al intervalo. Así, a la pregunta: ¿cual es el valor más grande del intervalo? deberemos contestar que no existe.
También podemos combinar intervalos que sean cerrados por un lado y abiertos por el otro. Cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha o viceversa.

Notación científica

Para expresar de forma más comprensible algunos números muy grandes o muy pequeños suele utilizarse lo que se denomina la notación científica de un número. Ésta hace uso de las potencias de 10. Por ejemplo, si tuviéramos el número 395.500 (número que no es tan grande como los que se utilizan muchas veces en física o química), éste se expresaría como:

¿Qué es lo que hemos hecho? Para expresar el número en notación científica lo que debe hacerse es situar la coma detrás de la primera cifra de la izquierda. En este caso la coma se mueve 5 posiciones hacia la izquierda, con lo que el número se ha hecho más pequeño, ha sido dividido por 100.000. Para compensarlo se multiplica por 100.000, pero expresado en forma de potencia decimal. Al dividir y multiplicar por la misma cantidad el resultado queda invariable.
Expresa el siguiente número en notación científica: 0,0047
En este caso la coma la situaremos detrás del 4 (los ceros no sirven para dejarlos a la izquierda de la coma, debe ser un número entre 1 y 9): 4,7. Ahora hay que ver por qué cantidad se ha multiplicado (en este caso hemos hecho el número más grande). Como la coma se ha movido 3 posiciones hacia la derecha es que lo hemos multiplicado por 1000. Para compensar se debe dividir por 1000, es decir: 1/1000 que expresado en forma de potencias es:

Por lo que finalmente el número en notación científica se expresará como:

Operaciones en notación científica. Si nos dan ya los números escritos en notación científica y nos piden que los sumemos o restemos, multipliquemos o dividamos, procederemos de la siguiente manera.
Suma y resta en notación científica. Dado que la suma de potencias solo es posible si las dos potencias son iguales, lo primero que deberemos hacer es pasar las potencias de 10 al mismo exponente. Para ello se procede como hemos explicado antes, desplazando la coma convenientemente. Pongamos un ejemplo, realiza la siguiente operación:

Lo primero que tenemos que hacer es convertir el 2 del exponente a un 3, o el 3 del otro exponente a un 2. Recomiendo que tomemos como referencia el mayor de los números (sobre todo si está en notación científica), porque así el resultado quedará ya, en la mayoría de ocasiones, en notación científica. Así que pasaremos el 2 a 3:

Como al pasar de 2 a 3 lo hemos hecho más grande, el 3,2 lo hacemos más pequeño pero solo tenemos que desplazar la coma una posición hacia la izquierda (lo dividimos por 10). Ahora los dos números ya tienen el mismo exponente en su parte de potencia decimal. Ahora ya podemos operar directamente el 0,32+1,8=2,12, ya que la potencia al ser igual puede salir factor común. El resultado de la operación será:

Que al haber usado la potencia mayor como referencia, nos ha quedado escrito en forma de notación científica (si no deberíamos pasarlo a dicha forma, es decir, con la coma detrás de la primera cifra de la izquierda y diferente de cero).
La resta se realiza de la misma manera, solo que restaremos en lugar de sumar.
Producto y división en notación científica. El caso del producto y la división es más fácil, ya que no requiere que las potencias sean idénticas, solo es necesario que tengan la misma base, y como todas serán potencias en base 10, se pueden operar directamente. Entonces para multiplicar o dividir en notación científica solo hay que hacer eso, multiplicar o dividir los números decimales por un lado y multiplicar o dividir las potencias por el otro. Pongamos un ejemplo, realiza el siguiente producto:

Para proceder con el producto multiplicaremos el 2·3,5=7 y por otro lado las potencias de 10, que usando la propiedad de producto de potencias de la misma base se suman los exponentes y se deja la base, nos quedará:

Que ya está en notación científica, pues la coma se situaría detrás del 7.
Para dividir se haría igual solo que en lugar de sumar los exponentes se restarían.