La Fórmula de Euler: Tema 11: Cuerpos geométricos

En este tema estudiaremos los tipos de poliedros y los cuerpos de revolución, obteniendo una fórmula del área total de sus caras.

Poliedros
Un cuerpo geométrico es una figura geométrica que tiene 3 dimensiones. Los poliedros son cuerpos geométricos limitados por caras poligonales. Es decir, todas las caras que forman el poliedro son polígonos.

Elementos de un poliedro. En un poliedro podemos distinguir los siguientes elementos:

Caras: son los polígonos que forman el poliedro.
Aristas: son los lados de los polígonos. Son líneas en las que concurren dos caras.
Vértices: puntos donde se cortan 3 o más aristas.
Diagonal: línea que une dos vértices de diferente arista.
Ángulo diedro: ángulo que forman dos caras.
Ángulo poliedro: ángulo formado por 3 o más caras con un punto en común, el vértice.

Desarrollo plano de un poliedro. Para calcular el área de las caras de un poliedro es muy útil imaginárselo completamente extendido sobre un plano, como si lo desmontásemos. Es lo que se denomina desarrollo plano. Por ejemplo, para un prisma de base hexagonal:

Tipos de poliedros

A continuación vamos a clasificar los poliedros según diferentes criterios:

Según el número de caras, un poliedro puede ser un Tetraedro (4 caras), Pentaedro (5 caras), Hexaedro (6 caras), Heptaedro (7 caras)...
Poliedros convexos y cóncavos: los poliedros convexos son aquellos que al prolongar cualquiera de sus caras ésta no corta con el poliedro. Es decir, un poliedro convexo es aquel que al unir dos puntos interiores cualquiera, nunca nos saldremos del poliedro. A diferencia de los poliedros cóncavos que no cumplen ninguna de las dos condiciones anteriores.

Para los poliedros convexos tenemos la Fórmula de Euler (el mismo que da título al blog) que dice que: C+V=A+2 (nº de caras+nº de vértices es igual a nº de aristas más 2)
Poliedros regulares e irregulares. Vamos a definir los poliedros regulares, siendo el resto irregulares. Los poliedros regulares son aquellos que tienen todas sus caras formadas por polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice concurre el mismo número de caras (es decir, todos sus ángulos poliedros son iguales). Con estas restricciones resulta que solo existen 5 poliedros regulares:
Oblicuos y rectos. Los poliedros oblicuos son los que tienen cierta inclinación (como la torre de Pisa), mientras que los rectos son los que mantienen su vertical.
La siguiente clasificación se refiere a los tipos de caras que tiene el poliedro y según éstas tenemos los prismas, pirámides...

Prismas

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí (son las bases) y el resto de caras son paralelogramos (son las caras laterales). En el caso de que las bases sean triángulos tendremos un prisma de base triangular:

El desarrollo plano del prisma triangular será:

Para calcular el área de sus caras tendremos que hallar el área de las caras laterales y la de las bases. Pongamos un ejemplo sencillo: halla la superficie del prisma que tiene las siguientes dimensiones:

Es decir, se trata de un prisma de base triangular, pero además el triángulo de la base es equilátero. Para poder hallar el área de cada uno de estos triángulos tendremos que averiguar previamente su altura mediante el teorema de Pitágoras.

El área del triángulo será:

Una vez hallada el área de la base vamos a por el área lateral. Ésta es mucho más sencilla, pues son rectángulos de base 6 y altura 15.

El área total será la suma de las áreas de todas las caras: 2 bases y 3 caras laterales:

El resto de prismas tendrán bases con polígonos de más lados, pero el principio mediante el que se calcula su superficie es la misma.

Pirámide
La pirámide es un poliedro que tiene una única base y el resto de caras laterales son triángulos que concurren en un solo punto llamado vértice.

Para calcular la superficie de la pirámide podemos analizar su desarrollo plano:

Se trata de hallar el área de la base (del polígono que corresponda en cada caso) y el área de la cara lateral, que será el área de un triángulo, y luego multiplicarla por el número de caras laterales. En el siguiente vídeo podrás ver un ejemplo resuelto.

Cuerpos de revolución

Los cuerpos de revolución son cuerpos geométricos que se obtienen cuando una figura plana gira alrededor de un eje central. Por ejemplo, si hacemos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados obtenemos un cilindro, mientras que si lo que gira es un triángulo rectángulo (alrededor de un cateto), obtenemos un cono.

Cilindro

El cilindro, como hemos visto se genera a partir del giro de un rectángulo. Posee dos bases que son círculos iguales y una sola cara lateral continua que al desplegarla en su desarrollo plano forma un rectángulo de dimensiones: h (altura del cilindro) y perímetro del círculo.

La superficie total será por tanto:

Es decir, 2 veces el área del círculo más el área del rectángulo.

Cono

El cono, como hemos visto se genera a partir del giro de un triángulo rectángulo. Consta de una sola base circular y su superficie lateral es un sector circular. Vamos a ver el área de cada una de estas figuras planas.

La superficie del cono será:

El área del sector circular de radio g (generatriz del cono) se deduce fácilmente a partir de una regla de tres.

Vamos a aplicar lo estudiado a un ejemplo. Halla la superficie de un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura.
La altura y el radio son los catetos de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la generatriz. Por ello, para hallar ésta aplicaremos el Teorema de Pitágoras.