Tema 7: Sistemas de Ecuaciones

En este tema aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 incógnitas por los métodos de sustitución, igualación y reducción. También abordaremos la resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones.

Antes de empezar el tema hay que dominar perfectamente la resolución de ecuaciones de primer grado y los problemas. Si no, repasa el Tema 6: Ecuaciones de primer y segundo grado

Métodos de resolución de sistemas.

Tenemos 3 métodos para resolver sistemas de ecuaciones: método de sustitución, de igualación y de reducción.

Método de sustitución.  Vamos a explicar el método mediante un ejemplo. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

El método consiste en despejar una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones. Por ejemplo, despejaremos la x de la 1ª ecuación: x=5-y. A continuación sustituiremos la expresión de x, es decir el 5-y en el lugar que ocupaba la x en la 2ª ecuación: 2·(5-y)-y=7. Ahora ya tenemos una ecuación que solo tiene una incógnita y que resolvemos de la forma habitual, primero quitaremos el paréntesis usando la propiedad distributiva: 10-2y-y=7. Luego pasamos las "y" a la izquierda y los números a la derecha: -2y-y=7-10; operamos: -3y=-3; y=1. Seguidamente necesitamos hallar el valor para la x. El sistema no estará totalmente resuelto hasta no haber hallado las dos incógnitas. Para hallar la x sustituimos el valor de y, que es 1 en este caso, en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la 1ª: x+1=5; por lo que x=5-1; x=4.
Es posible comprobar que hemos resuelto bien el sistema sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones y viendo que se cumplen las igualdades: 4+1=5 en la 1ª ecuación, y 2·4-1=8-1=7 en la 2ª. Con lo que queda comprobado.
Observa ahora este vídeo:

Método de igualación. El método de igualación no es el más utilizado, pero va bien cuando nos dan una de las incógnitas ya despejada de ambas ecuaciones. Nosotros usaremos el mismo ejemplo. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación.

Para resolver el sistema por igualación lo que haremos será despejar una de las incógnitas, ya sea la x o la y, pero de las dos ecuaciones. Por ejemplo, despejemos la y de ambas ecuaciones:

(Cuidado al despejar la y de la segunda ecuación, ya que el signo menos que tiene delante hace cambiar luego los signos del segundo miembro). Seguidamente igualamos las dos expresiones de y, es decir, igualamos los dos segundos miembros de ambas ecuaciones, ya que ambos son iguales a y.

5-x=2x-7

-x-2x=-7-5

-3x=-12

x=4

Igual que habíamos obtenido por el método de sustitución. Ahora faltaría hallar la y. Para esta segunda incógnita se suele pasar a usar el método de sustitución. Para ello sustituimos el valor de x, en este caso 4, en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la primera (podemos usar las ecuaciones con la y ya despejada): y=5-4=1. Como era de esperar. (No importa el método utilizado, si se realiza correctamente la solución del sistema tiene que ser la misma)
Observa ahora este vídeo:

Método de reducción. El método de reducción suele ser el método más usado, ya que es el más rápido. También es el método que se utiliza cuando resolvemos sistemas con más ecuaciones y más incógnitas (entonces lo llamamos método de Gauss y lo estudiaremos en años posteriores). Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.

El método de reducción consiste en multiplicar (si es necesario) cada ecuación por un número diferente, de manera que si luego las sumamos, se nos simplifique alguna de las incógnitas. En nuestro ejemplo no es necesario multiplicar las ecuaciones por ningún número, ya que si las sumamos, la y se simplifica directamente. Veámoslo:

Ahora ya se puede despejar la x obteniendo el valor de x=4. También en este caso podemos hallar la y cambiando de método y usando como en el caso anterior el método de sustitución para ver que nuevamente la y=1.

Esta vez la resolución por el método de reducción ha sido muy fácil y rápida, pero vamos a resolver otro sistema que no lo será tanto, pues será necesario multiplicar primero ambas ecuaciones por los números adecuados. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción.

En esta ocasión si sumamos ambas ecuaciones no se simplifica ninguna de las dos incógnitas. Primero, por tanto deberemos multiplicar ambas ecuaciones (si es necesario) por algún número. También tenemos que decidir antes cual de las dos incógnitas queremos simplificar. Si decidimos simplificar la x, deberemos multiplicar la 1ª ecuación por -2 (toda la ecuación), y la 2ª ecuación por 3. Tras las multiplicaciones el sistema nos queda:

Ahora si sumamos ambas ecuaciones nos quedará: 8y=16; por lo que y=2. La otra incógnita la resolvemos por sustitución. Sustituyendo y=2 en la 1ª ecuación tenemos que: 3x+5·2=16; 3x=16-10; 3x=6; x=2.

Fíjate que no es tan difícil como podría parecer. La 1ª ecuación la hemos multiplicado por -2 que es el coeficiente de la x en la otra ecuación (pero cambiado de signo) y la 2ª ecuación la hemos multiplicado por 3, que es el coeficiente de la x de la otra ecuación (en este caso sin cambiarle el signo). De esta forma siempre nos aseguraremos que al sumar el resultado sea cero: (-2·3)+(3·2)=-6+6=0.

Observa ahora este vídeo:

Si quieres ver más ejemplos consulta estas webs:

Libros vivos: Sistemas de ecuaciones

Vitutor: Sistemas de ecuaciones

También puedes ver más vídeos en childtopia; vídeos como este:

Ahora es momento de practicar. En ematematicas encontrarás una tarea con el título sistemas de ecuaciones 01. También en Thatquiz encontrarás más sistemas.