Tema 6: Proporcionalidad Numérica

En este tema resolveremos problemas relacionados con la proporcionalidad directa e inversa: reglas de tres simples y compuestas, repartos proporcionales, aumentos y descuentos porcentuales...También estudiaremos la relación con el interés simple.

Antes de empezar el tema deberías recordar los temas de proporcionalidad estudiados en cursos anteriores: Tema 8: Proporcionalidad numérica de 2º de ESO.

Repartos directa e inversamente proporcionales.

Este tipo de problemas aparece cuando se desea repartir una cantidad en diferentes partes pero que cada cantidad sea proporcional a algunos números que nos dan. Existen dos tipos de repartos, los directos (que cuanto mayor es el número mayor es la cantidad que le toca) o inversos (que cuanto mayor es el número menor es la cantidad).
Repartos directamente proporcionales. Por ejemplo, 3 amigos juegan a la lotería y cada uno de ellos ha invertido 10, 20 y 35 € respectivamente. Si les tocan 2000 € ¿cómo deben repartirse las ganancias?

Lo que haremos primero será sumar los 3 números: 10+20+35=65 €, para saber así la cantidad total invertida. Seguidamente realizamos reglas de tres con cada uno de los premiados. Al primer amigo le tocarán:

Si hubiera jugado 65 € (el total) le hubiera correspondido la totalidad del premio. Al haber jugado 10 €, le corresponderá:

Para el resto se procede de la misma manera:

Podemos realizar una comprobación, y es sumar las tres cantidades para ver que suman 2000:

307,69+615,38+1076,92=1999,99 €

Nos hemos dejado por repartir 1 céntimo debido a que las tres cantidades han tenido que redondearse por defecto. Para solventar el problema podemos sumar ese céntimo a la cantidad que más se acercaba al cinco en el redondeo. Esto es al segundo amigo. Así que las cantidades que ahora ya suman 2000 son:: 307,69; 615,39; y 1076,92.

También hemos comprobado que se trataba de un reparto directo y que a mayor cantidad invertida, mayor es la ganancia.

Repartos inversamente proporcionales. En este caso, la cantidad a repartir es inversamente proporcional a los números que nos dan en el enunciado. Sin embargo, si a esos números les calculamos el inverso, el reparto ya será como si fuera directamente proporcional. Por ejemplo: 3 camareros se quieren repartir las propinas de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado al trabajo. Si las propinas ascienden a 570 € y han faltado 2, 3 y 5 días respectivamente, ¿cuánto le tocará a cada uno?

Lo primero que haremos será escribir los inversos de las tres cantidades, y luego sumarlas para conocer el total. En este caso normalmente estaremos sumando fracciones:

Seguidamente planteamos las reglas de tres para cada camarero:

Si nos fijamos, solo hay un número que cambia en los tres casos, por lo que solo despejaremos la primera x y ésta nos dará la pauta de cómo serán las otras:

En los dos últimos cálculos nos hemos valido del cálculo previo y solo hemos calculado la parte que era diferente. Nuevamente comprobamos el resultado y vemos que vuelve a faltar 1 céntimo que podemos adjudicar por el mismo criterio al que la aproximación se acercaba más al 5.

Observa el siguiente vídeo en el que puedes comprobar que el problema puede resolverse de diferentes maneras (aunque todas llevan a realizar los mimos cálculos)