Tema 8: Proporcionalidad Numérica

En este tema estudiaremos las reglas de tres y los porcentajes. Se trata de un tema en el que se resuelven problemas tanto de proporcionalidad directa como inversa.

Proporcionalidad directa e inversa
Lo primero que tendremos que dilucidar es si se trata de un problema de proporcionalidad directa o inversa. Para ello solo nos sirve la lógica. En el caso de los problemas de proporcionalidad directa veremos que a medida que aumenta una de las magnitudes la otra también aumenta. (o viceversa, si disminuye una disminuye la otra). Por ejemplo, cuanto más trabajo, más cobro o cuanto más superficie a pintar más horas invertiré pintando.
En el caso de las magnitudes inversamente proporcionales, ocurre que al aumentar una disminuye la otra, o viceversa. Por ejemplo: A más velocidad menos tiempo tardaré. Velocidad y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.
Todo esto es importante ya que al hacer un problema de reglas de tres, aunque no nos digan de que tipo es, nosotros deberemos ser capaces de distinguir entre los de proporcionalidad directa o inversa y entonces resolverlos según proceda.

Regla de tres simple directa
Las reglas de tres simples y directas son las que relacionan dos magnitudes de la siguiente manera:

Donde A es una de las magnitudes y B la otra. Los subíndices nos indican dos momentos o situaciones de esas magnitudes, donde los subíndices 1 están relacionados entre sí (situación o momento 1) y lo mismo para los subíndices 2. Por lo tanto al realizar el cociente entre las dos magnitudes en un momento dado nos da el mismo resultado que al dividir esas magnitudes en otro momento. Ese cociente que siempre es constante es lo que llamamos constante de proporcionalidad y que aquí hemos escrito con la letra k.
La relación entre las cuatro cantidades también pueden escribirse de la siguiente manera:

Esta forma es la que utilizaremos para resolver los problemas (también podría usarse la forma inicial, pero ésta nos resultará más útil en el futuro cuando hagamos reglas de tres compuestas).
Apliquemoslo a un ejemplo: Juan, que para aprovechar un viaje en tren se está leyendo un libro, ha leído 250 páginas y para ello ha invertido 1 hora y 35 minutos. Si el libro tiene 340 páginas y le falta 1 hora para llegar a su destino, ¿tendrá suficiente tiempo para acabárselo?
Primero pasaremos la hora y 35 minutos a minutos: 95 minutos. La magnitud A puede ser el tiempo, mientras que la magnitud B serán las páginas del libro. La situación 1 es las páginas que ha leído y el tiempo que ha invertido en leerlas, mientras que la situación 2 es las páginas que le faltan por leer (340-250=90 páginas por leer) y el tiempo que invertirá en hacerlo. De todas esas cantidades la única que no conocemos es el tiempo que invertirá en acabarse el libro, pero el resto podemos sustituirlas en la relación anterior:

Ahora lo único que tenemos que hacer es despejar la incógnita. Para ello pasamos todas las cantidades al otro lado de la igualdad excepto el 95 que lo dejamos donde está, y nos quedará:

Ahora haciendo el cálculo obtenemos:

Es decir, que tardará 34,2 minutos en acabarse el libro, y como le queda una hora de viaje tendrá tiempo suficiente para acabárselo.

Regla de tres simple inversa
La relación de las magnitudes inversamente proporcionales es la siguiente:

Es decir, ahora no es el cociente entre las dos magnitudes lo que se mantiene constante, si no el producto. De aquí se puede escribir:

Que es la expresión que utilizaremos cuando resolvamos problemas de reglas de tres inversas.