Tema 10: Función Polinómica y Racional

En este tema analizaremos las funciones fundamentales: polinómicas y racionales y aplicaremos lo aprendido en el tema anterior para realizar las gráficas de dichas funciones.

Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas son aquellas que tienen como ecuación un polinomio. f(x)=P(x). Por ejemplo:

Aprovechando el ejemplo vamos a aplicar todo lo visto en el tema anterior para realizar la gráfica de dicha función.
Dominio de una función polinómica. El dominio de toda función polinómica será siempre todos los números reales, ya que no hay ningún valor para el cual no se pueda hallar la imagen.

Puntos de corte. Se resuelve como de costumbre, sustituyendo x por 0, y luego y por 0. Para x=0 obtenemos en este caso que y=1, así que tenemos el punto (0,1). Luego al sustituir y=0, se obtiene una ecuación de tercer grado que resolveremos mediante Ruffini. (También se puede hacer por tanteo). Obtenemos una primera solución x=1. Así que ya tenemos otro punto de corte: (1,0). Después de hacer Ruffini nos queda en el cociente un polinomio de segundo grado que no tiene raíces enteras. Pero por ser de segundo grado podemos utilizar la fórmula de las ecuaciones de segundo grado para hallar las dos raíces restantes.

Para poder representar ambos puntos calcularemos ambas raíces y aproximaremos a las décimas (la representación en unos ejes coordenados no milimetrados no nos da para más precisión). Así podemos expresar todos los puntos de corte en una tabla de valores:

Simetrías. También la simetría se hace como siempre. En este caso no tendrá ya que hay potencias pares en x sumadas a potencias impares en x.

Asíntotas en funciones polinómicas. Las funciones polinómicas no tienen nunca ningún tipo de asíntota. No tienen asíntotas verticales ya que en el dominio no se excluye ningún valor susceptible de ser una asíntota vertical. No tienen asíntotas horizontales ni oblicuas ya que al hacer x tendiendo a infinito nunca nos dará un valor numérico.

Crecimiento y extremos. También en este caso hacer la derivada será mucho más sencillo. Para el ejemplo la derivada de la función es:

Esta función derivada si la igualamos a cero y resolvemos la ecuación nos dará las x candidatas a puntos máximos y mínimos de la función.

También aquí calcularíamos los dos valores y los aproximaríamos a las décimas. De cada valor deberíamos buscar la y correspondiente para poder representar la función posteriormente. Finalmente obtenemos una nueva tabla de valores con los dos extremos:

Ambos puntos, candidatos a máximos y mínimos, nos servirán para construir la tabla de crecimiento y decrecimiento. Luego procedemos como es habitual, buscando un punto del intervalo, sustituyéndolo en la derivada y viendo el signo que nos da. Si da positiva la derivada es que la función crece, si da negativa es que decrece.

De esta forma también sabremos si los puntos son máximos o mínimos. En el ejemplo, el 0,2 si pasa de crecer a decrecer es que se corresponde con un máximo. De la misma forma, el 1,8 pasa de decrecer a crecer y por eso se corresponde con un mínimo.
Con todo lo hallado ya podemos pasar a dibujar la gráfica de la función:

Vamos a ver a continuación como se va modificando la gráfica a medida que variamos la ecuación de la función polinómica.
Si representamos la función polinómica más sencilla, la función identidad y=x tendremos una gráfica tal como esta:

¿Qué ocurrirá si le sumamos un número a la ecuación? Si representamos y=x+3 tendrá como gráfica:

La gráfica se desplaza 3 unidades hacia arriba (o 3 a la izquierda)

¿Qué ocurriría si multiplicamos la x por algún número mayor que 1? Dado que el número que multiplica a x es la pendiente si multiplicamos la x por un número mayor que 1 aumentará la pendiente de la recta. Por ejemplo, si representamos gráficamente y=3x obtendremos:

Si hubiéramos multiplicado por un número menor que 1 la pendiente hubiera descendido. Si hubiéramos multiplicado por un número negativo la pendiente hubiera cambiado de signo y por lo tanto la recta se orientaría en el otro sentido. y=-x

Lo dicho también serviría para la ecuación cuadrática:

Si sumamos un término independiente la gráfica se desplazará hacia arriba:

Pero ¿Qué ocurre si multiplicamos el término de segundo grado por algún número positivo?

Por su parte, el efecto más sorprendente es el que ocurre cuando a la x (no a la función) le sumamos o restamos algún número. La función se desplaza a derecha o izquierda, pero en el sentido contrario al que de entrada pensaríamos. Si le sumamos algún número se desplaza a la izquierda, y si le restamos algún número a la derecha. Eso sí, en ambos casos el desplazamiento es igual al número añadido. Veamos unos ejemplos gráficos:

Función Racional
Una función racional es la que está formada por el cociente de dos polinomios, por ejemplo:

Representa gráficamente la función anterior realizando todos los pasos estudiados en el tema anterior.

Dominio: Para buscar el dominio igualamos el denominador a 0 y resolvemos la ecuación que resulta.
x+2=0; x=-2. La solución de esta ecuación es justamente lo que no es el dominio, lo que le tenemos que quitar al dominio:

El dominio lo utilizaremos cuando busquemos las asíntotas verticales.

Simetrías: Para saber si la función tiene alguna simetría lo que haremos será sustituir la x por -x y operar.

El resultado no es ni la función original ni ésta cambiada de signo, por lo que no existe simetría ni par ni impar.

Puntos de corte: Los puntos de corte son los puntos en los que la función corta con los ejes de coordenadas. Para ello sustituimos la x por 0 y hallamos la y correspondiente, luego sustituimos la y por 0 y buscamos la x correspondiente.

Cuando x=0 vemos que y=9/2=4,5; cuando y=0 entonces tenemos una ecuación de segundo grado:

Con ambos resultados confeccionamos una tabla:

Asíntota vertical: La asíntota vertical se busca en el punto que no pertenece al dominio, en nuestro caso en x=-2. Buscaremos el límite cuando x tiende a -2 de la función. Si nos da infinito es que en ese punto hay una asíntota vertical.

De asíntotas verticales puede haber más de una, tantas como puntos que no pertenecen al dominio. Por ejemplo, la función tangente tiene infinitas asíntotas verticales.

Asíntota oblicua. Buscaremos la asíntota oblicua en aquellas funciones racionales en las que el grado de numerador sea mayor que el del denominador en una unidad. Es lo que ocurre en este caso, por lo que esta función tendrá asíntota oblicua. Si una función tiene asíntota oblicua ya no tiene horizontal, y viceversa.
Para hallar la asíntota oblicua dividiremos la función:

Lo único que nos interesa es el cociente. El cociente es la ecuación de la asíntota oblicua: y=x-8

Máximos y mínimos. Para encontrar los extremos de la función haremos la derivada de la función y la igualaremos a cero. La ecuación que se obtiene, al resolverla nos dará los posibles máximos y mínimos.

Al igualar la derivada a cero, el denominador se pierde al pasar multiplicándolo al otro miembro, así que únicamente nos quedará el numerador:

Seguidamente buscamos la imagen de cada x, para poder situarla posteriormente en la gráfica.

Basta ahora saber si cada uno de estos puntos son máximos o mínimos. Para ello buscaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Estos intervalos vienen determinados no solo por los extremos si no también por la asíntota vertical.

Con todo lo hallado ya podemos realizar la gráfica de la función: