Tema 6: Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

En este tema aprenderemos a resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Una ecuación es una igualdad que únicamente se cumple para determinados valores de la incógnita. Resolver la ecuación consiste en hallar esos valores que hacen que los dos lados de la igualdad (miembros de la ecuación) sean iguales.


Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado son aquellas en las que la incógnita (la x) está elevada a 1, es decir, aparece  en la forma de x. Por ejemplo, resuelve la siguiente ecuación de primer grado: 2·x+1=x-3.
Es evidente que si a una igualdad le realizamos la misma operación a ambos lados, el resultado sigue siendo igual. Por ejemplo, si a 3=3 le sumamos 2 a ambos lados obtenemos: 3+2=3+2; 5=5, que sigue siendo igual. Éste es el principio que se aplica cuando resolvemos una ecuación. Realizando la misma operación a ambos lados de la igualdad vamos simplificando la ecuación hasta llegar a una igualdad en la que en uno de los miembros únicamente queda x. Si resolvemos la ecuación del ejemplo haremos:

2·x+1=x-3

2·x+1-1=x-3-1

2·x=x-4

2·x-x=x-x-4

x=-4

Cada una de las ecuaciones que se van obteniendo son ecuaciones equivalentes dado que tienen la misma solución. Con la práctica, realizamos las operaciones con mayor rapidez al pasar los números al miembro de la derecha, los que suman pasan restando, y los que restan pasan sumando; y las x las pasamos a la izquierda, de la misma forma. Si finalmente la x quedara multiplicada por algún número, éste pasaría dividiendo al otro lado de la igualdad.

Practica con las siguientes ecuaciones sencillas.

Ecuaciones con paréntesis. El siguiente nivel de dificultad sería añadir paréntesis. En este caso eliminaríamos primero los paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Observa el siguiente vídeo.

Practica con las siguientes ecuaciones con paréntesis.

Ecuaciones con denominadores. El siguiente nivel de dificultad aparece cuando en la ecuación aparecen denominadores. En esos casos es conveniente eliminar primero los denominadores. Para ello lo que se hace es hallar el mínimo común múltiplo de todos ellos. Una vez averiguado el m.c.m. se substituyen todos los denominadores por éste y se procede de la siguiente manera: se divide el mcm entre el denominador de la primera fracción y el resultado se multiplica al numerador, y se hace lo mismo con el resto de fracciones. Importante:  si tuviéramos algún término sin denominador, por ejemplo un 3, le colocaríamos un 1 en el denominador para convertirlo en una fracción. También hay que tener en cuenta que esta operación debe realizarse con TODOS los términos de la ecuación.
Una vez que tenemos TODOS los términos con el mismo denominador podremos eliminarlo. Seguidamente se procede como en las ecuaciones con paréntesis. Observa los siguientes vídeos:

Ahora practica: Ecuaciones con denominadores.

Ecuaciones con solo dos fracciones. Un caso sencillo de resolver es cuando únicamente tenemos una fracción a cada lado de la igualdad. Por ejemplo, resuelve la siguiente ecuación con denominadores:

En estos casos, en lugar de buscar el mcm, podemos simplemente pasar cada uno de los denominadores multiplicando al otro lado. Número que divide, multiplica al otro lado. Así nos queda:

4·(2x-3)=3·(5x-2)

8x-12=15x-6

8x-15x=12-6

-7x=6

x=6/-7

Una última advertencia MUY IMPORTANTE!!! ya que suele ser causa habitual de error, cuando tengamos un signo menos delante de una fracción, y en el numerador tengamos una suma (o resta), al aplicar la propiedad distributiva siempre multiplicaremos el signo menos a todos los términos del numerador. Por ejemplo, resuelve la siguiente ecuación con denominadores:

Buscamos primero el mcm de 3,6 y 5. Que resulta ser 30. Se lo ponemos en todos los términos, incluido debajo del 4. A continuación hacemos: 30 entre 3 da 10, y se lo colocamos al numerador; 30 entre 6 da 5, y se lo ponemos al numerador; etc. Luego eliminamos los denominadores y nos queda:

10·(x-1)-5·(5-2x)=30·4-6·3x

Aplicamos la propiedad distributiva y cuidado con el -5 que multiplica al -2x y que nos dará +10x

10x-10-25+10x=120-18x

10x+10x+18x=120+10+25

38x=155

x=155/38

Tras estas consideraciones puedes seguir practicando: Más ecuaciones con denominadores

Ecuaciones de segundo grado.

Las ecuaciones de segundo grado son aquellas que tienen la x elevada a 2. En general se escriben de la siguiente forma:

Aunque en algunos casos la encontrarás escrita sin simplificar. Para tenerla en la forma antes escrita deberás operar y pasar todos los términos al mismo lado, dejando cero en el otro. Por ejemplo, escribe la ecuación de segundo grado simplificada de:

y después resuélvela.

Es decir, a diferencia de las ecuaciones de primer grado, aquí pasarás todos los términos al mismo lado de la ecuación. Una vez hecho esto utilizaremos la fórmula que nos da directamente el resultado de despejar la x, y es la siguiente:

La principal dificultad al despejar la x en la ecuación de segundo grado estriba en el hecho de que tenemos dos x, una está elevada a 2 y la otra a 1. Los pasos que se siguen para poder juntar estas dos x en una sola implican el uso de las identidades notables, y lo estudiaremos en cursos posteriores.

Lo que más sorprende al ver esta fórmula es el signo + y el signo - a la vez. No debe asustar esta notación que lo único que indica es que tenemos en realidad 2 fórmulas en una. En la primera tendríamos el + y en la segunda el -, pero para no repetir la fórmula casi idéntica dos veces se usa este símbolo.

Es decir: 

Donde discr viene a representar el radicando y que luego explicaremos su importancia. El origen del doble signo se debe a que durante el proceso de aislar la x se tiene que despejar una raíz cuadrada y como vimos las raíces cuadradas tienen dos soluciones.

Es muy importante aprenderse la fórmula de memoria. Para ello es muy recomendable escribirla cada vez que resuelvas una ecuación, pues además te evitará errores.

El siguiente paso es identificar las tres letras. Es decir, tenemos que saber el valor de a,b,c para la ecuación que queramos resolver. Es fácil ver que a es el coeficiente (número) que acompaña (multiplica) a la x al cuadrado, b acompaña a x, y c es el término independiente (número que no multiplica a ninguna x). En nuestro ejemplo a=2; b=-5 y c=-6

Una vez identificados los valores de las tres letras se substituyen éstos en la ecuación:

Es muy importante prestar mucha atención a los signos, ya que son la principal causa de error en el uso de esta fórmula. A continuación seguimos operando:

En muchos casos la raíz que se obtenga no será exacta, como ocurre en este caso. La raíz de 73 no da exacto y en estos casos no seguiremos con el cálculo dando los dos resultados como:

Como acabamos de ver, una ecuación de segundo grado tiene, por regla general 2 soluciones (mientras que las de primer grado tenían solo 1), pero en ocasiones podrían tener solo 1 solución y en otros casos ninguna.

¿De qué depende? El número de soluciones de la ecuación de segundo grado dependerá del radicando, lo que suele llamarse discriminante y que tiene la expresión:

Las diferentes posibilidades se pueden resumir de la forma (el enunciado del ejercicio sería: ¿Cuántas soluciones tiene cada ecuación de segundo grado?) En los ejemplos que siguen se calculan también las soluciones, pero si no se piden basta con calcular el discriminante.

Ecuaciones de segundo grado incompletas. Podría ser que en la ecuación faltara alguno de los términos. En esos casos es porque o b=0 o c=0. Las ecuaciones incompletas que tendríamos respectivamente serían:

Para resolver estas ecuaciones puedes usar también la fórmula general. Basta con escoger b=0 o c=0 en cada caso. Sin embargo, al ser más sencillas, también es más directa su resolución.

En el primer caso:

Aunque aparezca un signo negativo en el interior de la raíz, eso no quiere decir que no vaya a tener solución. Puede tener solución si a y c tienen signos cambiados. Por ejemplo, resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta:

En el otro caso, en el que c=0, lo que hacemos es sacar una x factor común:

Entonces o x=0 lo que nos da una solución (siempre sale esta solución en este caso), o bien ax+b=0, lo que nos dará la segunda solución al despejar la x por tratarse de una ecuación de primer grado sencilla:

que junto con x=0 son las dos soluciones que siempre encontraremos en este caso.

Observa el siguiente vídeo en el que se muestra cómo resolver diferentes ecuaciones de segundo grado:

Ahora practica con las siguientes ecuaciones de segundo grado.

En la siguiente web encontrarás una herramienta que te permitirá resolver automáticamente cualquier ecuación de segundo grado, lo que te puede servir para comprobar que las has hecho bien.