También en este tema aprenderemos a resolver las inecuaciones, en las que aparece el signo de desigualdad y cuyas soluciones son siempre intervalos.
Antes de empezar este tema deberías dominar las ecuaciones de primer grado sencillas y con denominadores, así como las ecuaciones de segundo grado. Si no es así puedes repasarlas en el tema 4 de 3º de ESO: Ecuaciones de primer y segundo grado.
También necesitarás el método de Ruffini, las identidades notables, las operaciones entre fracciones algebraicas, los intérvalos, y la representación gráfica de rectas. Ésta última estudiada en el tema 13 de 3º de ESO: Funciones y gráficas.
Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2.
Podemos resolver de forma sencilla ecuaciones de grado mayor que 2 si las soluciones son enteras. El método no es otro que la regla de Ruffini. Para ello aplicaremos el método para los divisores del término independiente que son los únicos que nos pueden dar resto cero. Aquellos valores que nos den resto cero tras aplicar Ruffini serán soluciones de la ecuación.
Observa el siguiente vídeo:
En el vídeo al llegar a la ecuación de segundo grado pasan a resolverla por la fórmula de la ecuación de sehundo grado (también podríamos haber seguido con Ruffini en este caso ya que todas las soluciones son enteras, sin embargo es recomendable usar la fórmula ya que ésta nos da la solución cualquiera que ésta sea, incluso podremos saber cuando no tenga solución).
Ecuaciones factorizadas.
Si en el ejemplo anterior, en lugar de intentar resolver la ecuación lo que hubiéramos querido hacer es factorizar el polinomio hubiéramos escrito:
Se trata de una ecuación factorizada. Este tipo de ecuaciones son de inmediata resolución. Cada factor nos informa de la solución de la ecuación. Basta con cambiar el signo que aparece en cada factor, para (x-1) la solución es x=1 (en este caso al estar elevado al cubo es una solución triple), y para (x+2) la solución es x=-2.
Una ecuación bicuadrada es una ecuación polinómica de cuarto grado en la que únicamente encontramos los términos de grado 4, 2 y término independiente. Es decir:
Este tipo de ecuaciones puede resolverse si primero hacemos un cambio:
Vamos a resolver algún ejemplo. Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
que se resuelve mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado:
Obteniéndose dos soluciones:
De estas dos soluciones únicamente podremos buscar los valores de x para la solución positiva. Es decir, la ecuación de segundo grado en z tiene dos soluciones, pero la ecuación bicuadrada es de 4º grado y podría tener hasta 4 soluciones, pero en este caso también tendrá únicamente dos:
Observa ahora otro ejemplo mediante el siguiente vídeo:
Aquí puedes encontrar alguna más para practicar.
Ecuaciones irracionales.
Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el interior de una raíz. Éstas son un poco más difíciles que las bicuadradas, pero también se resuelven de una forma más o menos mecánica. Dado que la raíz se puede eliminar elevando al cuadrado, será eso lo que tengamos que hacer, elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Sin embargo, antes de ello deberemos pasar términos de un lado a otro para facilitar los cálculos, si es necesario. Por ejemplo, si solo tuviéramos una raíz sería conveniente aislarla en uno de los lados de la ecuación. No sirve de nada tener una raíz sumada a otro término y elevar al cuadrado, ya que al hacer el doble del primero por el segundo en el cuadrado del binomio, volvería a aparecernos la raíz.
Observa el primer ejemplo del siguiente vídeo:
Si en el ejemplo hubiéramos elevado al cuadrado cada miembro antes de pasar la x al otro lado, hubiéramos obtenido de nuevo la raíz. Con lo que no hubiéramos conseguido nada.
Otras consideraciones a tener en cuenta es que cada vez que elevemos al cuadrado un miembro en el que tengamos un binomio tendremos que aplicar el cuadrado de una suma o resta (identidad notable).
También vemos que, generalmente, las ecuaciones irracionales nos pueden llevar a tener que resolver también una ecuación de segundo grado.
Lo último a tener en cuenta con las ecuaciones irracionales es que las soluciones deben comprobarse, pues no todas son siempre válidas. En la primera ecuación la solución x=9 no es solución. Ésto se debe a que al elevar al cuadrado, hacemos buenas algunas soluciones que sin elevar no lo son, ya que elevar al cuadrado hace positivos los dos miembros cuando para alguna de esas soluciones quedarían de diferente signo. Así que no os olvidéis nunca de comprobar las soluciones, de lo contrario estaríais dando como buenas soluciones que no lo son.
El segundo ejemplo del vídeo presenta dos raíces. Podríamos elevar directamente al cuadrado, o bien pasar la raíz más sencilla al otro lado. En ambos casos las raíces no desaparecen en primera instancia, y en un segundo paso despejamos la única raíz que nos quede y volveríamos a elevar por segunda vez al cuadrado.
Ahora es momento de que practiques con algunas ecuaciones irracionales. Las soluciones las encontrarás en las pestañas numeradas.
Aquí también podrás resolver ecuaciones irracionales y luego comprobar si lo has hecho bien.
Ecuaciones con fracciones algebraicas.
En el tema anterior aprendimos a operar fracciones algebraicas. Cuando sumábamos dos (o más) fracciones algebraicas teníamos que hallar el mcm de los denominadores (como siempre se hace), pero al tratarse de fracciones algebraicas, ahora en los denominadores tenemos polinomios. Procederemos como explicamos y colocaremos el mcm en todos los denominadores de la ecuación, y multiplicaremos cada numerador por los mismos factores que habremos multiplicado el denominador. Luego eliminaremos los denominadores. Vamos a verlo con un ejemplo, resuelve la siguiente ecuación con fracciones algebraicas:
En los denominadores tenemos un 1 en el primer término, un 1+x en el segundo, y un 1-x en el tercero. El mcm de los tres factores es 1·(1+x)·(1-x) (el 1 se puede obviar). Pondremos así este mcm en el denominador de los tres términos (no os olvidéis el término con el 1) y a continuación multiplicamos los tres numeradores por los factores que inicialmente no aparecían en el denominador.
Seguidamente eliminamos los denominadores y operamos los numeradores. (Recuerda que solo pueden eliminarse los denominadores si estamos resolviendo una ecuación, nunca si únicamente se trata de una expresión algebraica):
Afortunadamente en este caso se nos van las x al cuadrado, pero generalmente tendrás que resolver una ecuación de segundo grado. Finalmente nos queda: -4x=-6; x=3/2.
En el siguiente vídeo puedes ver otro ejemplo (de paso verás una ecuación con fracciones):
También en estas ecuaciones tienes que comprobar que la solución no anule el denominador, pues en ese caso no nos serviría.
Aquí podrás encontrar muchos ejemplos más resueltos y explicados en vídeo. Muy recomendable.
Inecuaciones de primer grado.
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. En las inecuaciones de primer grado las expresiones algebraicas son polinomios de primer grado. Por ejemplo: 3x-2<x+4. Las desigualdades pueden ser el < (menor que), el > (mayor que), y también:
menor o igual que.
mayor o igual que.
La resolución de una inecuación de primer grado es muy similar a la de las ecuaciones. Pasamos los términos con x a la izquierda, los números a la derecha, sumamos y restamos términos, y finalmente pasamos el coeficiente de la x dividiendo al otro lado: 3x-x<4+2; 2x<6; x<6/2; x<3.
Lo único con lo que deberemos tener cuidado es que si dicho coeficiente es negativo, deberíamos cambiar el sentido de la desigualdad.
También nos podemos encontrar con inecuaciones de primer grado con denominadores. Una vez más la resolución es idéntica a la de las ecuaciones. Observa el siguiente vídeo:
Aquí también podrás resolver ecuaciones irracionales y luego comprobar si lo has hecho bien.
Ecuaciones con fracciones algebraicas.
En el tema anterior aprendimos a operar fracciones algebraicas. Cuando sumábamos dos (o más) fracciones algebraicas teníamos que hallar el mcm de los denominadores (como siempre se hace), pero al tratarse de fracciones algebraicas, ahora en los denominadores tenemos polinomios. Procederemos como explicamos y colocaremos el mcm en todos los denominadores de la ecuación, y multiplicaremos cada numerador por los mismos factores que habremos multiplicado el denominador. Luego eliminaremos los denominadores. Vamos a verlo con un ejemplo, resuelve la siguiente ecuación con fracciones algebraicas:
Seguidamente eliminamos los denominadores y operamos los numeradores. (Recuerda que solo pueden eliminarse los denominadores si estamos resolviendo una ecuación, nunca si únicamente se trata de una expresión algebraica):
Afortunadamente en este caso se nos van las x al cuadrado, pero generalmente tendrás que resolver una ecuación de segundo grado. Finalmente nos queda: -4x=-6; x=3/2.
En el siguiente vídeo puedes ver otro ejemplo (de paso verás una ecuación con fracciones):
Aquí podrás encontrar muchos ejemplos más resueltos y explicados en vídeo. Muy recomendable.
Inecuaciones de primer grado.
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. En las inecuaciones de primer grado las expresiones algebraicas son polinomios de primer grado. Por ejemplo: 3x-2<x+4. Las desigualdades pueden ser el < (menor que), el > (mayor que), y también:
La resolución de una inecuación de primer grado es muy similar a la de las ecuaciones. Pasamos los términos con x a la izquierda, los números a la derecha, sumamos y restamos términos, y finalmente pasamos el coeficiente de la x dividiendo al otro lado: 3x-x<4+2; 2x<6; x<6/2; x<3.
Lo único con lo que deberemos tener cuidado es que si dicho coeficiente es negativo, deberíamos cambiar el sentido de la desigualdad.
También nos podemos encontrar con inecuaciones de primer grado con denominadores. Una vez más la resolución es idéntica a la de las ecuaciones. Observa el siguiente vídeo:
La otra diferencia con las ecuaciones es que aquí la solución siempre es un intervalo (o dos en algunos casos), incluso aunque sean de primer grado. Esto implica que la solución no es solo un número, si no infinitos números.
Inecuaciones de segundo grado.
El caso de las inecuaciones de segundo grado es ligeramente diferente del de las ecuaciones, aunque se empieza de la misma manera, resolviendo la ecuación de segundo grado mediante la fórmula. El objetivo no es otro que factorizar la expresión algebraica para convertirla en un producto. Pero puede ser que en alguna ocasión no sea posible porque la ecuación no tenga solución. ¿Qué deberíamos hacer en esos casos? Observa el siguiente vídeo en el que se muestran inecuaciones de primer grado, y luego una de segundo grado en el que ocurre esto.
Es decir, una inecuación de segundo grado, en el caso de que la ecuación no tenga solución solo puede tener dos posibilidades: que la solución sean todos los números reales o que no tenga solución. Basta con substituir cualquier número en la inecuación y comprobar si la cumple o no respectivamente.
También se podría dar el caso de que la ecuación de segundo grado tuviera solo una solución. El caso es muy parecido pero se complica pues podríamos tener que excluir ese punto de la solución si la desigualdad fuera estricta, ya que ese punto se refiere al igual que. Para este caso, dado que la factorización implicará un cuadrado, serán todos los reales si estamos en el caso de >0, y no tendrá solución si es <0.
Veamos un ejemplo. Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:
Si resolvemos la ecuación tenemos x=-3 como solución doble, por lo que la factorización nos dejará la inecuación escrita en la forma:
Un cuadrado siempre arroja un resultado positivo por lo que la inecuación se cumplirá siempre independientemente del valor por el que substituyamos la x, excepto para x=-3. Para la solución de la ecuación el resultado no es un número positivo, es cero. Dado que en esta inecuación la desigualdad es estricta, no es mayor o igual, debemos excluir el -3 de la solución, que se escribirá como:
Para la ecuaciones que nos den dos soluciones podremos factorizarlo como el producto de dos binomios diferentes. A partir de este momento tenemos siempre dos opciones que dependen de si tenemos un >0 (positivo) o un <0 (negativo). En el primer caso tenemos un producto que nos da un resultado positivo. Según la ley de los signos ésto solo es posible si los dos factores son ambos positivos, o ambos negativos. Éstas son las dos opciones en las que se nos desdobla el problema. También se nos desdobla en dos opciones si tuviéramos que la inecuación tiene un <0 (negativo). Pero en este otro caso, para que el producto de dos factores nos de negativo uno debe ser positivo y el otro negativo, o viceversa, negativo y positivo.
Veamos un ejemplo en vídeo:
Veamos un ejemplo en vídeo:
Es decir, una vez dividido el problema en las dos opciones, todas la inecuaciones que nos quedan por resolver son ya de primer grado, y muy sencillas. Las resolvemos todas, pero aún queda ver, mediante representación sobre la recta cual es la intersección de las dos soluciones dentro de cada opción. Solo la intersección nos dará la solución.
Veamos otro ejemplo. Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:
El primer paso ha consistido únicamente en factorizar el polinomio. Ahora nos fijamos en la desigualdad. Como que el resultado del producto debe ser >0 (mayor que 0, es decir, positivo), tenemos dos opciones: que ambos factores sean >0 (positivos) o que ambos factores sean <0 (negativos):
Dentro de cada opción se deben cumplir simultáneamente las dos desigualdades. En la primera opción tenemos que x>1 y a la vez que x>-3. La intersección entre ambas desigualdades es que x>1. Eso lo vemos bien representándolo gráficamente sobre la recta real.
Por lo tanto, según la primera opción la solución es x>1.
Pasamos ahora a la otra opción. Aquí x<1 y x<-3. La intersección es x<-3 que corresponde a la solución según esta otra opción.
La solución final es suma de ambas soluciones (en este caso no sería la intersección si no la unión), así podemos expresar la solución final como:
Todos los intervalos son abiertos, esto es, no incluyen los extremos. Los infinitos nunca los incluiremos por no ser números reales, y en este caso tampoco incluimos el -3 ni el 1 porque se trataba de desigualdades estrictas: > o <.
Existe un segundo método para resolver este tipo de inecuaciones que quizás resulte más sencillo. Se trata de una interpretación geométrica de la función cuadrática, aunque también puede realizarse simplemente substituyendo valores. Aclarémoslo con algunos vídeos:
Inecuaciones racionales.
Las inecuaciones racionales son aquellas en las que intervienen fracciones algebraicas y su método de resolución es idéntico al que hemos explicado para las inecuaciones de segundo grado. Sin embargo, como primer paso nos tendremos que asegurar que al lado derecho de la desigualdad haya un 0, si no es así todo lo que haya en ese lado lo pasaremos primero sumando o restando al otro lado y operaremos, de forma que nos quede únicamente una fracción algebraica. Una vez llegados a este punto volveremos a aplicar la ley de los signos, pues funciona igual para un producto que para una división.
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