Tema 11: Función Exponencial y Logarítmica

En este tema veremos unas cuantas funciones especiales como son las funciones con radicales, las funciones trigonométricas y las funciones exponencial y logarítmica.
Para poder afrontar este tema con garantías es necesario que recuerdes cómo se resolvían las inecuaciones. En caso de que necesites refrescar la memoria las encontrarás en el Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones de 4º de la ESO

Funciones irracionales
Las funciones irracionales son aquellas en las que la variable x se encuentra en el interior de una raíz. Para realizar su gráfica seguiremos los mismos pasos que utilizamos para las funciones racionales. Vamos a aplicarlo a un ejemplo. Representa gráficamente la función irracional:

Dominio: En este caso el dominio serán todos los valores de x que hagan que el radicando sea positivo (o igual a 0). Es decir, el dominio será la solución de la siguiente inecuación:

Para poder resolver esta inecuación primero teníamos que descomponer factorialmente el polinomio de segundo grado con lo que la inecuación quedará:

A continuación planteábamos dos posibles soluciones. Dado que tanto el producto de dos factores positivos como negativos nos da un resultado positivo, las dos posibles soluciones son:

Para la primera solución tenemos que:

Esto da como resultado:

La intersección entre las dos desigualdades es: 

Para la otra solución de forma parecida obtendríamos:

Ambos intervalos infinitos son solución. Así que la función únicamente estará definida, se podrá dibujar, en esos intervalos, y entre -1 y 1 no habrá función. Tendremos un hueco en medio.
Dado que -1 y 1 pertenecen al dominio, en ellos no hay ninguna asíntota vertical, sus imágenes son 0 en ambos casos, que se corresponde además con los únicos puntos de corte.

Simetría. Esta función al sustituir x por -x se obtiene la misma función, por lo que tendrá simetría par, es decir, el eje "y" es un eje de simetría, por lo que tendrá lo mismo a izquierda y derecha, como si en el eje "y" hubiera un espejo.

Asíntotas. Ya hemos visto que no tiene asíntotas verticales. Tampoco tiene asíntota oblicua ya que el grado del numerador es 2 veces mayor que el del denominador. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal.

Al darnos infinito es que tampoco tiene asíntotas horizontales. La función, a medida que nos vamos al infinito (en las x) las imágenes (las y; la función) se va a infinito.

Extremos. Si hacemos la derivada de la función:

Al igualar a 0, obtenemos x=0, pero éste es un valor que no pertenece al dominio, por lo que la función no tiene extremos. (Esto no es del todo exacto, lo que no tiene es puntos en los que la función tenga pendiente nula, pero los puntos x=-1 y x=1 serán mínimos locales).

Monotonía. Con esto nos estamos refiriendo a los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Solo tenemos dos intervalos: de menos infinito a -1 y de 1 a más infinito. En el primer intervalos, si tomamos un valor cualquiera que pertenezca a él obtendremos, al sustituir este valor en la derivada (por ejemplo, para x=-2)

Como nos da negativo es que la función decrece en todo ese intervalo. Análogamente, para x=2, veremos que al sustituir este valor en la derivada nos da positivo y por tanto la función crece en el segundo intervalo.
Ya podemos dibujar la gráfica, pero deberíamos encontrar algunos puntos más en una tabla de valores para dibujarla con mayor precisión.

Si nos fijamos, a medida que las x se hacen grandes o pequeñas, la gráfica se parece más a la de valor absoluto de x, ya que cuanto mayor es x, más despreciable es el valor de 1, es decir, es mucho mayor x al cuadrado para valores de x grandes que 1.

Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son y=sen(x), y=cos(x), y=tg(x), (y algunas más) así como las funciones compuestas con ellas o combinaciones entre ellas.
Vamos a estudiar la función seno. Para ello lo que haremos será ver su gráfica y de ahí extraer algunas de sus propiedades.

Está definida para todo x, es decir, su dominio son todos los números reales. Tiene infinitos puntos de corte. Estos puntos se sitúan a intervalos regulares, lo que nos lleva a una nueva propiedad, la de periodicidad. Los puntos de corte se sitúan en x=0; x=pi; x=2pi... también en x=-pi; x=-2pi... Sin embargo, la periodicidad no es pi, si no 2pi. La gráfica se repite idénticamente en intervalos de 2pi. Precisamente cada 2pi encontramos máximos y también cada 2pi encontramos mínimos. Los máximos se sitúan en x=pi/2; x=5pi/2... y en la parte negativa. Los mínimos en x=3pi/2; x=7pi/2... y en la parte negativa. El recorrido de la función son los valores que toma la "y", y ésta solo va de -1 a +1. En cuanto a los intérvalos de crecimiento y decrecimiento, vienen determinados por los máximos y mínimos comentados anteriormente.
La función coseno es muy similar a la función seno, solo que se encuentra desplazada pi/2 respecto a ésta (tiene un desfase de pi/2). Veamos su gráfica:

La función tangente es muy diferente. Veamos su gráfica y analicemos sus propiedades:

En este caso el dominio ya no son todos los reales, si no que la función tangente tiene asíntotas verticales a intervalos regulares. Concretamente en x=pi/2; x=3pi/2; x=5pi/2... y en los negativos. La función es periódica y su período es pi. La función no tiene máximos ni mínimos y siempre es creciente. También tiene infinitos puntos de corte en x=0; x=pi; x=2pi... y en los negativos. La función tangente tiene como recorrido todos los reales.

En la siguiente web puedes ver el efecto que produce en la función seno el cambiar algunos parámetros.

Función exponencial
La función exponencial es la que tiene como expresión algebraica:

Donde "a" denominado base, es un número real positivo. Si representamos la gráfica para a=2 (o para cualquier número mayor que 1) obtenemos:

Vemos que su dominio son todos los reales, pero su recorrido solo son los reales positivos. Tiene un solo punto de corte (0,1) que, además, es el mismo para cualquier exponencial (tal y como la hemos definido anteriormente). Tiene una asíntota horizontal en x=0, pero solo para x tendiendo a menos infinito. Cuando la x tiende a más infinito la función se hace también infinita. La función siempre crece.
Al cambiar el valor de a lo que ocurre es que la gráfica se curva más o menos. Veamos algunos ejemplos:

Vemos que a medida que "a" se va haciendo grande la gráfica crece más rápidamente. En el caso de a=1 tenemos una recta, ya que 1 elevado a cualquier número nos da 1.
Para valores menores que 1 (1 marca el límite) la función exponencial cambia y se hace decreciente, teniendo la asíntota horizontal para x tendiendo a infinito. Para a=1/2 obtendríamos:

Una función exponencial especial (de hecho es la que recibe propiamente este nombre, teniendo que especificar en las demás a qué base nos estamos refiriendo) es la que tiene como base el número irracional e=2,71828...