Tema 13: Combinatoria

En este tema estudiaremos las diferentes formas en que podemos contar combinaciones de elementos dispuestos de diferentes formas. También contaremos el número de maneras que tenemos de escoger unos elementos de un conjunto. Estos contajes servirán, en el tema siguiente, para calcular la probabilidad de un suceso.

Estos contajes los llamamos en conjunto Combinatoria, y distinguiremos dos casos diferentes: el caso en que  para distinguir entre los distintos resultados tenemos que tener en cuenta el orden y un segundo caso en el que no nos importará el orden de los elementos.
¿Qué significa que no nos importa el orden? Aquí no estamos dando ningún criterio de valor cuando hablamos de si nos importa o no el orden. Lo único que queremos decir es que es importante a la hora de distinguir entre dos resultados diferentes. Pongamos un ejemplo. Si utilizando los dígitos: 1, 2 y 3 queremos formar números de tres cifras, nos importará el orden en el que dispongamos los dígitos ya que no es el mismo número el 123 que el 321 o el 231...Es en este sentido que decimos que nos importa el orden. Otro ejemplo. Si 10 corredores completan una carrera y vamos a dar medallas de oro, plata y bronce, cuando obtenga los nombres de los ganadores, me importará el orden en el que hayan quedado. No es lo mismo que me digan 3 nombres como candidatos a medallas que el orden en el que han quedado.

Dentro del primer caso: importa el orden, todavía tendremos dos opciones: a una de ellas la llamaremos Variaciones y a la otra Permutaciones.

Variaciones

En esta primera opción del caso en que nos importa el orden, cada vez que obtenemos un resultado, tendremos la posibilidad de que alguno de los elementos que estamos utilizando, nos quede sin usar. Por ejemplo, si estamos formando números de 3 cifras con el 1,2, 3 y 4, uno de los posibles números podría ser el 112, o el 123, en estos casos nos hemos dejado el 3 y el 4, o el 4 sin usar. Por eso este sería un caso de variaciones.
Finalmente todavía podemos distinguir, dentro de las variaciones (y también ocurrirá en el resto de casos), dos posibilidades más, y es que podamos repetir los elementos dentro de un resultado o que no podamos repetirlos. En el caso de que no podamos repetirlos, siguiendo con el ejemplo, solo podríamos formar números tales como el 123, 132, 213, 231, 312, 321, 124, 134..., pero si podemos repetir los dígitos tendríamos muchas más opciones: 111, 112, 113, 121, 122...está claro que en este caso si contamos todas las posibilidades sin seguir ningún criterio podríamos olvidarnos algún número. (Existen formas de hacer esto sin despistarse, pero vamos a usar una fórmula que nos dé este número total de variaciones directamente).

Variaciones sin repetición. En las variaciones sin repetición primero comprobaremos que importa el orden  para distinguir entre dos resultados diferentes, y luego veremos que alguno de los elementos nos puede quedar sin usar en alguno de los resultados y finalmente que no podemos repetir elementos. Una vez cerciorados de que estamos en este caso, la fórmula que utilizaremos para encontrar el número total de variaciones es:

Pongamos un ejemplo. Siguiendo con el ejemplo planteado anteriormente, halla cuantos números de 3 cifras se pueden escribir usando los números del 1 al 4 y sin repetirlos.
Usando la fórmula anterior, tenemos que n se corresponde con el número de posiciones que vamos a ir llenando en cada caso, con los m elementos de que disponemos para llenarlos. En el ejemplo n=3 (por las 3 cifras de los números a formar) y m=4 (por los 4 elementos de que se dispone). Si calculamos previamente (m-n+1)=4-3+1=2 así nos quedará:

Variaciones con repetición. Si ahora todo es igual pero además podemos repetir los elementos dentro de cada opción de resultado, utilizaremos la siguiente fórmula:

Para el mismo ejemplo anterior, pero ahora pudiendo repetir los números, tendremos:

Como es lógico, ahora hemos obtenido un resultado mayor, ya que existen más posibles combinaciones si permitimos que los números puedan repetirse.

Permutaciones

El otro caso en que importa el orden es el de las permutaciones. Éstas se diferencian de las variaciones en que en cada posible elección, siempre tomamos todos los elementos de que disponemos, y lo único que hacemos al crear una nueva combinación es que cambiamos el orden de los elementos. Así que, permutar elementos es, solo, cambiarlos de orden.
Nuevamente tendremos dos opciones. El caso en que los elementos no se repitan, y el caso en el que sí se repitan.

Permutaciones sin repetición. Este es el caso en que tenemos un número de elementos determinado (todos diferentes) y los vamos cambiando de orden. ¿De cuántas maneras podremos colocarlos? La fórmula que me da este número de posibilidades es:

Es decir, dado que ahora el número de posiciones y de elementos coincide, solo hablamos de m elementos que permutan. El cálculo es el de m! (m factorial), que consiste en multiplicar desde el número que me han dado hasta 1 bajando cada vez una unidad. Por ejemplo 7!=7·6·5·4·3·2·1. El factorial se puede calcular con una calculadora científica, y es un número que crece muy rápido, de tal forma que cuando lleguemos al 70! las calculadoras ya te dan error porque no cabe el número de grande que es.
Pongamos un ejemplo. Calcula de cuantas maneras puedes colocar 10 libros diferentes (por ejemplo, los 10 tomos de una enciclopedia) en una estantería.
Ya que los 10 libros son diferentes no habrá repetición. Serán permutaciones ya que en cada posible combinación empleamos todos los elementos disponibles. Importa el orden, obviamente, porque en cada posible combinación lo que hacemos es cambiar el orden. Así que deduciendo que se trata de permutaciones sin repetición, el resultado será:

Ya vemos que las permutaciones crecen muy rápidamente. Si cada hora cambiáramos los libros de posición, estaríamos más de 414 años sin repetir la combinación de libros. (Y eso que solo usábamos 10 libros, imagina lo que representaría para una biblioteca de miles de libros).

Permutaciones con repetición. Imaginemos que ahora se repiten algunos elementos. La fórmula que utilizaríamos sería entonces la siguiente:

Donde n sigue siendo las posiciones y m el números de elementos diferentes, pero en la fórmula debemos especificar cuántos hay de cada tipo. Por ejemplo, queremos montar un tren con 5 vagones de pasajeros, 3 de carga y 2 de restaurante, ¿de cuántas maneras podremos montar el tren?

En este caso tendremos un total de 10 posiciones, y de cada tipo de elemento tendremos n1=5, n2=3 y n3=2, por lo que si sustituimos en la fórmula y calculamos obtendremos:

En el caso de que el factorial a calcular sea tan grande que ni la calculadora nos arroje un resultado, es posible aún hacer el cálculo si lo que hacemos es simplificar los productos que se repitan en numerador y denominador. (En realidad es esto mismo lo que hemos hecho con la fórmula de las variaciones sin repetición, ya que originalmente la fórmula es:

tú mismo puedes comprobar que se trata de la misma fórmula)

Combinaciones

Por último llegamos al caso en que no importa el orden. En este caso, no podemos hablar de posiciones, ya que en cada posible resultado los elementos no se ordenan. En este caso hablaremos de elementos de un conjunto del que haremos subconjuntos, y calcularemos cuantos subconjuntos diferentes se pueden hacer.

También tendremos las dos opciones: sin y con repetición.

Combinaciones sin repetición. Dado un conjunto de m elementos (todos diferentes) queremos hacer subconjuntos de n elementos. Por ejemplo. De una clase con 30 alumnos queremos escoger una delegación de 3 alumnos para que representen a la clase (sin ordenarlos de ninguna manera). Para ello utilizaremos la fórmula:

Que para el problema que se nos plantea dará como resultado:

Para realizar el cálculo anterior, en lugar de calcular los factoriales, hemos simplificado primero los productos que se repetían en numerador y denominador. Así el 27! se simplifica en su totalidad con el 27·26·25·24... que forma parte del 30!.

Combinaciones con repetición. Y ya para acabar con los 6 casos posibles, tenemos las combinaciones con repetición. En este caso no nos importa saber cuantos elementos hay de cada tipo, si no solo los elementos diferentes de que disponemos (m) y por otro lado cuantos cogemos al hacer cada subconjunto (n). La fórmula que utilizaremos será:

Pongamos un ejemplo. En una urna tenemos 6 bolas rojas, 4 azules y 3 blancas. Extraemos 3 bolas de golpe, ¿cuantas combinaciones de colores podemos tener en nuestras manos?

Para calcular cuantas combinaciones de colores son posibles no nos importa que haya más de un tipo que de otro (solo que hayan suficientes bolas de cada color como para que la totalidad de bolas puedan ser del mismo color, si no el problema se complica). Así que m=3 colores diferentes, y n=3 bolas que cogemos. Utilizando la fórmula obtendremos: