Interpretación de una fracción
Las fracciones se expresan mediante dos números enteros separados por una raya:
Las fracciones pueden interpretarse de diferentes maneras. En primer lugar podría expresar un valor respecto a un total que llamamos unidad. El denominador "b" sería las partes iguales en que dividimos la unidad, mientras que el numerador "a" serían esas partes iguales que tomamos. El ejemplo típico es el de coger una pizza, dividirla en 8 partes iguales y luego tomar 5 porciones. Decimos que nos hemos comido 5/8 de pizza.
Las fracciones también pueden interpretarse como cocientes. 5/8 representa 5 dividido entre 8. 5/8=5:8. De hecho, lo más habitual a partir de ahora será expresar todos los cocientes en forma de fracción.
Por último, una fracción también puede considerarse un operador, es decir, un número que opera a otro. Por ejemplo, 5/4 de 8, tenemos que multiplicar 5·8=40 y luego lo dividimos entre 4. 40:4=10. Es decir:
Dado que es indistinto hacer primero un producto que una división podríamos haber hecho primero la división de 8 entre 4 que nos hubiera dado 2 y luego el producto de 5 por 2 obteniendo 10 igualmente.
La única diferencia respecto a los naturales será la aplicación de la ley de los signos cuando hagamos algún producto o división.
Fracción irreducible
Dada una fracción, siempre es posible multiplicar numerador y denominador por el mismo número para obtener otra fracción que, aunque no tiene los mismos números, es equivalente a la que nos han dado. ¿Qué quiere decir que es equivalente? Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad final de porción respecto a la unidad, aunque, si se tratara de una pizza, habríamos cortado más trozos y también habríamos cogido más trozos, pero la pizza que nos comeríamos finalmente sería la misma.
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes? Como vemos en el ejemplo anterior, si las representamos gráficamente, podremos reconocer que son fracciones equivalentes (no son iguales, pero equivalen a la misma cantidad respecto al total, a la unidad). Pero existen otras formas de reconocerlas, por ejemplo, realizando el cociente: 3 entre 4 nos da: 0,75, mientras que 6 entre 8 también nos da 0,75. Si no queremos dividir, podemos realizar la siguiente operación, multiplicar el numerador de una por el denominador de la otra y viceversa: 3·8=24; 4·6=24. Si obtenemos el mismo resultado es que son equivalentes. Finalmente, si queremos saber por qué número se ha multiplicado la fracción inicial para obtener la equivalente, podemos dividir numerador de una entre numerador de la otra (grande entre pequeña) y denominador de una entre el de la otra, y obtendremos dicho número (siendo a su vez también una comprobación de que son equivalentes): 6:3=2; 8:4=2.
También podemos, si la fracción que nos dan inicialmente es la de 6/8, pasar a la de 3/4 dividiendo numerador y denominador por el 2 que acabamos de ver. No siempre será posible dividir numerador y denominador por un mismo número y que nos de una fracción (recuerda que en la definición de fracción, tanto numerador como denominador deben ser enteros), pero, si podemos, llegaremos finalmente hasta una fracción que ya no podrá dividirse más y a la que denominaremos fracción irreducible. En nuestro ejemplo, 3/4 es la fracción irreducible.
¿Cómo hallar la fracción irreducible? Existen muchos métodos que nos permiten encontrar la fracción irreducible; vamos a repasarlos. El método que se usa habitualmente es el de ir dividiendo numerador y denominador por los números primos que pueden dividir a ambos. Para ello es necesario conocer los criterios de divisibilidad para no perder el tiempo dividiendo por números que no nos darían un resultado entero. En el momento que vemos que ya no tienen ningún factor primo común que divida a ambos ya habremos encontrado la fracción irreducible. Pongamos un ejemplo más complicado. Halla la fracción irreducible de 420/1050. De entrada vemos que ambos números se pueden dividir entre 10 (no es necesario dividir siempre por números primos), obteniendo la fracción equivalente: 42/105. Ya no tienen más factores comunes que sean 2 o 5, por lo que podemos probar con el 3. Efectivamente, ambos pueden dividirse entre 3. 42 entre 3 nos da 14 y 105 entre 3 nos da 35, con lo que la nueva fracción equivalente será: 14/35. ¿Es una fracción irreducible? NO. Todavía pueden dividirse ambos números por 7 y se obtiene: 2/5. Ahora sí que podemos estar seguros de haber encontrado la fracción irreducible, ya que 2 y 5 son números primos y no tienen ningún factor común.
Aunque el descrito es el método más habitual, existen otros métodos que, para números más grandes, quizás sean más útiles. Otro método consistiría en descomponer factorialmente ambos números, numerador y denominador, de forma separada. 420=2·2·3·5·7; mientras que 1050=2·3·5·5·7. Una vez descompuestos vemos que la fracción se podría escribir así:
Ahora vemos claramente los factores comunes de ambos números: 2, 3, 5 y 7. Eliminando estos números de numerador y denominador nos queda directamente la fracción irreducible: 2/5. Este método parece más largo, pero para números grandes quizás sea más rápido que el explicado anteriormente.
Existe un tercer método, que no suele usarse mucho pues es muy parecido al que acabamos de explicar y que consiste en buscar el m.c.d. de ambos números (serían los factores comunes al menor exponente) y dividir ambos números: numerador y denominador por el m.c.d. obteniéndose directamente la fracción irreducible. Este método apenas difiere del anterior pues también es necesario descomponer los números, pero se tienen que hacer más operaciones.
Representación de una fracción sobre la recta real
Hasta ahora hemos representado gráficamente las fracciones como porciones de pizza (sectores circulares; aunque también podrían utilizarse otras figuras geométricas, como rectángulos), pero si queremos representar la fracción sobre una recta real, lo que deberemos hacer es algo muy parecido. Primero situaremos sobre la recta las unidades.
Seguidamente, según la fracción que nos hayan dado, subdividiremos las unidades en tantas partes como indica el denominador de la fracción a representar. Por ejemplo, si queremos representar la fracción 3/4, dividiremos la unidad que va del 0 al 1 en 4 partes iguales (existen métodos para subdividir un segmento en partes iguales aplicando el Teorema de Tales). Una vez dividido la unidad en 4 partes, tomaremos tantas como indica el numerador, en este caso 3.
Si queremos comparar dos fracciones para saber cual es mayor, podemos representar ambas sobre la recta real y la que quede más a la derecha será la mayor. También podemos realizar los cocientes de ambas fracciones o buscar el común denominador tal y como se explicará en el apartado de suma y resta de fracciones. Una vez que tengan el común denominador, la que tenga mayor numerador será la más grande.
Hasta ahora solo hemos tratado con fracciones propias, es decir, fracciones que no superan a la unidad. Pero imaginemos que en lugar de una pizza nos han traído 2 y somos 7 personas a comer pizza. Como lo más fácil es cortar cada pizza en 4 porciones, lo hacemos así en ambas pizzas obteniendo un total de 8 porciones de pizza. Luego cada comensal coge su porción, es decir, cogemos 7 porciones de las 8 que hay cortadas, pero la fracción que representa esta situación es 7/4 y no 7/8 pues el denominador indica el número de porciones en que cortamos cada unidad (cada pizza) y el numerador indica cuantas porciones cogemos, en este caso 7. Como nos hemos pasado de la unidad, hemos necesitado 2 unidades (2 pizzas), esta fracción se la llama impropia, ya que contiene una parte entera (la pizza entera que nos hemos comido) y una parte fraccionaria (los 3/4 de la otra pizza). Es por ello que podemos escribir la fracción impropia de la siguiente manera:
Esta forma de escribir la fracción se denomina la forma mixta, ya que aparece una parte entera y otra fraccionaria (OJO, no confundir esta forma con el producto de un entero por una fracción). Ahora, si quisiéramos representar esta fracción sobre la recta real, no sería necesario subdividir las dos primeras unidades en cuartos y coger 7, si no únicamente la segunda unidad (del 1 al 2) y coger 3.
Este método para representar las fracciones impropias nos ahorrará tener que subdividir todas las unidades anteriores a la que se encuentra la fracción.
Las operaciones entre fracciones que estudiaremos serán las de suma y resta de fracciones, producto y división de fracciones y potencia de una fracción.
Suma y resta de fracciones. Dadas dos fracciones, para poder sumarlas o restarlas, es necesario que primero tengan el mismo denominador. Para ello se busca el mínimo común múltiplo de los dos denominadores y una vez hallado se coloca éste en el denominador de ambas fracciones. Al haber modificado el denominador, debemos modificar también el numerador. Para ello debemos multiplicar el numerador por el mismo número que hemos multiplicado el denominador. De esta manera tendremos unas fracciones equivalentes a las del inicio, ya que habremos multiplicado tanto numerador como denominador por el mismo número. Luego solo tendremos que sumar o restar los numeradores y dejar el mismo denominador. Pongamos un ejemplo. Realiza la suma de las siguientes fracciones:
Ahora solo queda sumar los numeradores y dejar el denominador:
¿Por qué es necesario hacer todos esos pasos para sumar o restar dos fracciones? La necesidad de poner el mismo denominador se debe a que cuando sumamos dos fracciones, si no tuvieran el mismo denominador, sería como sumar peras y manzanas. El denominador es el que indica el tipo de fracción de que se trata: medios, tercios, cuartos, etc...Mientras que el numerador es el que indica cuántas de esas fracciones tenemos. No podemos sumar medios con tercios pues son fracciones diferentes (tienen diferente tamaño). Pero sí que podemos sumar sextos con sextos.
El método explicado también sirve si tenemos más de dos fracciones. Pongamos otro ejemplo en el que también aparezca alguna resta. Realiza las siguientes operaciones entre fracciones:
Primero buscaremos el mcm(15,20,12)=60. Luego buscamos los numeradores: 60/15=4; 4·2=8; 60/20=3; 3·3=9; 60/12=5; 5·1=5. Con lo que nos quedará:
Mira ahora este vídeo por si te ha quedado alguna duda:
Producto y división de fracciones. El producto y la división de fracciones resulta mucho más rápida y sencilla que la suma y resta. Para el caso del producto lo único que tenemos que hacer es multiplicar el numerador de una fracción con el numerador de la otra y también los denominadores entre sí. Pongamos un ejemplo. Multiplica las dos fracciones siguientes:
Para la división lo que tendríamos que hacer es invertir la segunda fracción (cambiar numerador por denominador) y así luego solo tendríamos que hacer un producto entre fracciones. También se suele hacer haciendo el producto en cruz: numerador por denominador y se deja el resultado en el numerador, denominador por numerador y se deja el resultado en el denominador. Veamos un ejemplo. Realiza la división de las dos fracciones siguientes:
Para ello podemos invertir la segunda fracción y multiplicar las fracciones:
O realizar el producto en cruz 3·6=18 y va al numerador, 4·5=20 y va al denominador.
Mira el siguiente vídeo en el que te explican otro ejemplo:
Mira el siguiente vídeo en el que te explican otro ejemplo:
En algunos casos nos podemos encontrar la división escrita como una fracción, en esos casos puedes escribirla aparte como el cociente de dos fracciones y realizar el cálculo como acabamos de explicar. (Aunque también puedes utilizar la regla de multiplicar los extremos y dejar el resultado en el numerador y luego multiplicar los medios y dejar el resultado en el denominador).
También podemos encontrarnos con el caso de que debamos operar una fracción con un entero. En ese caso es recomendable convertir al entero en una fracción colocándole 1 en el denominador, y proceder a realizar las operaciones como si ya solo tuviéramos fracciones.
Operaciones combinadas. Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen sumas, restas, productos y divisiones de fracciones en una misma expresión. Habitualmente se escriben en una misma línea, en ese caso son imprescindibles los paréntesis y corchetes para especificar el orden de las operaciones. Recuerda que primero se realizan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, luego los productos y cocientes, y finalmente las sumas y restas. Por ejemplo: realiza la siguiente operación combinada:
Pero esta misma operación se podría haber escrito utilizando el símbolismo de las fracciones en lugar de los dos puntos de la forma:
Todo se complica si además incluimos enteros y fracciones. Realiza la siguiente operación combinada:
Es importante seguir el orden correcto de las operaciones, para ello, si no se tiene claro, el enunciado debería escribirse en una sola línea pero incluyendo los paréntesis que fueran necesarios:
En caso de realizar alguna operación aparte se hará aparte y no en mitad de los cálculos. Hay que tener muy presente que cada vez que colocamos un signo igual es porque lo que viene a continuación es igual a lo que había escrito.
Cada cual realizará este tipo de operaciones de la forma que más domine, aunque con el tiempo, la primera forma será la más habitual.
En el tema 5: Expresiones algebraicas de 2º de ESO, veremos un vídeo en el que se aplica esto mismo, pero ya con expresiones algebraicas, es decir, con números y letras.
En el tema 5: Expresiones algebraicas de 2º de ESO, veremos un vídeo en el que se aplica esto mismo, pero ya con expresiones algebraicas, es decir, con números y letras.
Potencia y raíz cuadrada de una fracción
Para elevar una fracción a una potencia elevaremos tanto numerador como denominador a dicha potencia:
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