Tema 3: Números Decimales

En este tema practicaremos el cálculo con números decimales. Realizaremos el cálculo de la raíz cuadrada de un número con una cifra decimal. Aprenderemos a expresar un número decimal en forma de fracción, conocida como fracción generatriz.


Cálculo de la raíz cuadrada con un decimal.

Calcula la raíz cuadrada de 174. Dado un número entero, por ejemplo: 174, lo primero que haremos será separarlo en grupo de dos cifras empezando por la derecha. Al tener un número impar de cifras, quedará repartido así 1 y 74.
Seguidamente buscamos la raíz entera del número de la izquierda. En este caso del 1. La raíz entera de 1 es 1, y la colocamos debajo del 1. Seguidamente disponemos todos estos números de la siguiente manera:

A continuación restamos los dos 1: 1-1=0 y lo colocamos debajo. También buscamos el doble de 1 y lo colocamos debajo del otro 1. De la siguiente manera:

Seguidamente bajamos junto al cero las dos siguientes cifras del número que estamos calculando la raíz, en este caso el 74. También colocamos junto al 2 una línea, un por (símbolo de producto) y otra pequeña línea.

A continuación buscamos un número (el mismo) que colocado sobre ambas líneas, nos genere dos números que multiplicados se acerquen lo más posible a 74 sin pasarse. El 4 nos daría 24x4=96 y nos pasaríamos, así que será el 3: 23x3=69. El 3 será la siguiente cifra de la raíz cuadrada y la colocaremos junto al 1, mientras que el 69 lo pondremos bajo el 74 para restarlo.

Seguidamente restamos 69 al 74 y nos da 5. Bajamos las siguientes dos cifras, que ahora serán dos ceros (los primeros decimales) y los colocamos junto al 5. También calculamos el doble de 13, que es 26 y lo colocamos bajo el 23. Ponemos una coma tras el 13 ya que vamos a calcular la primera cifra decimal de la raíz cuadrada. Esta cifra la calculamos igual que habíamos obtenido el 3. Buscamos una cifra que colocada tras el 26 y multiplicada por esta misma cifra se acerque a 500 lo más posible sin pasarse.

La cifra que buscamos es 1, ya que 2 nos daría: 262x2=524 y nos pasaríamos. Con el 1 nos dará: 261x1=261. Subimos el 1 junto al 13 y se convierte en la primera cifra decimal de la raíz cuadrada. Luego calculamos la resta entre 500 y 261 y nos da 239.

Ya hemos hallado la raíz de 174 con 1 decimal: 13,1. El resto de esta raíz es 2,39, ya que el 39 se correspondía con las dos primeras cifras decimales que hemos bajado.

Si quisiéramos comprobar el resultado deberíamos hacer: 13,1x13,1=171,61 y a continuación le sumaríamos el resto: 171,61+2,39=174.

Si quisiéramos otra cifra decimal, repetiríamos el mismo proceso, calcularíamos el doble de 131, que es 262 y lo colocaríamos bajo el 261. Bajaríamos dos ceros más con lo que tendríamos que buscar una cifra que junto al 262 y multiplicar por la misma cifra nos acercáramos lo más posible sin pasarnos al 23900. La cifra que buscamos es el 9, ya que 2629x9=23661. Así que la raíz con dos cifras decimales sería 13,19 y el resto sería: 0,0239.

Si quisiéramos obtener la raíz cuadrada de un número decimal procederíamos del mismo modo, solo que al agrupar inicialmente las cifras de dos en dos, lo haríamos de forma que partiríamos de la coma hacia la izquierda y de la coma hacia la derecha. Por ejemplo, el 234,378 se agruparía: 2_34_,_37_80 y luego ya vendrían grupos de dos ceros, como hemos hecho en el ejemplo anterior.

Aquí puedes ver un ejemplo resuelto. En la misma página te proponen que resuelvas otra raíz la de 264,315.

Fracción generatriz.

Dado un número escrito en forma decimal, es muy útil poder escribirlo en forma de fracción.

Tenemos 4 tipos de números decimales: los decimales exactos, los decimales periódicos puros, los decimales periódicos mixtos y los decimales ni exactos ni periódicos. Exceptuando éstos últimos, conocidos como números irracionales, todos estos pueden escribirse en forma de fracción.

Fracción generatriz de un decimal exacto. Los decimales exactos son aquellos que tienen un número de cifras decimales finito. Por ejemplo: halla la fracción generatriz de 3,45. Para expresar este número en forma de fracción basta con poner el número sin coma en el numerador, y un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenía en el denominador.

Fracción generatriz de un decimal periódico puro. Un decimal periódico puro es aquel que todas sus cifras decimales son periódicas, es decir, tras la coma las cifras se van repitiendo indefinidamente. Por ejemplo: halla la fracción generatriz de 2,1414141414... y así hasta el infinito. Este número se escribe de forma simplificada como:

Puedes comprobar con tu calculadora que todo decimal periódico puro que tenga la parte entera igual a cero, tiene en el numerador el periodo y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo. Por ejemplo:

Ahora, en el caso de tener también parte entera, basta con sumársela a la fracción generatriz de la parte decimal. Por ejemplo:

Existe, sin embargo, una forma más rápida de escribir esta fracción generatriz. Basta con escribir en el numerador el número sin coma y sin el signo de periodo y se le resta la parte no periódica (en este caso, la parte entera), y en el denominador se colocan tantos nueves como cifras tiene la parte periódica. En el ejemplo:

Observa ahora este vídeo:

Fracción generatriz de un decimal periódico mixto. Un decimal periódico mixto es aquel que en su parte decimal tiene alguna cifra decimal no periódica (anteperiodo) y luego una parte periódica. Por ejemplo: halla la fracción generatriz de 2,673737373... Este número se escribiría en forma simplificada:

Para escribir la fracción generatriz en este caso, basta con escribirlo primero en forma de periódico puro. Para ello, en nuestro ejemplo tenemos que multiplicar el número por 10. Luego se escribe la fracción generatriz del número que se obtiene y finalmente volvemos a recuperar el número inicial dividiéndolo entre 10. Veámoslo con un ejemplo:

También en este caso podemos escribir directamente la fracción generatriz. Basta con escribir en el numerador el número decimal sin coma y sin el signo de periodo y restarle la parte no periódica (sin coma) y en el denominador tantos 9 como cifras tiene el periodo y tantos 0 como cifras tiene el anteperiodo. En el ejemplo:

Observa ahora este vídeo:

Ahora practica aquí.