Tema 9: Proporcionalidad Geométrica

La proporcionalidad geométrica hace referencia a la relación de proporción que guardan entre sí figuras geométrica semejantes. Es decir, dos figuras idénticas excepto en su tamaño. En este tema aprenderemos a usar el Teorema de Tales resolviendo algunos problemas.

Teorema de Tales
Son dos los teoremas que, bajo este mismo nombre, se le atribuyen a Tales. En este tema estudiaremos el que nos relaciona triángulos semejantes. Sin embargo, no vamos a enunciarlo todavía, si no que lo veremos en un curso posterior, pero lo aplicaremos a algunos problemas.
Ejemplo primero. Juan observa la sombra de una torre y gracias a una cinta métrica es capaz de medirla. Observa que la sombra de la torre es de 15 metros. Entonces decide que va a calcular la altura de la torre. Para eso se sitúa de tal manera que su sombra coincide con el final de la sombra de la torre. Luego mide su propia sombra: 3 metros (no deja pasar el tiempo ya que el sol se va moviendo). Gracias a que conoce su propia altura: 1,80 metros se sienta, a la sombra de la torre, a calcular la altura de ésta. ¿Cuanto mide la torre?
Primero realizaremos un dibujo y situaremos los datos del problema:

Como consecuencia del Teorema de Tales, podemos relacionar los lados equivalentes de los dos triángulos que pueden verse en el dibujo (se dice que los triángulos están en posición de Tales):

Esta relación se obtiene de dividir el cateto correspondiente a la altura de la torre entre el cateto de la altura de Juan y debe ser igual al cociente entre el cateto correspondiente a la sombra de la torre entre el cateto correspondiente a la sombra de Juan.

Despejando h como si fuera una ecuación se obtiene:

La torre mide 9 metros.

Ejemplo segundo. Juan sigue caminando y de pronto ve un charco en el suelo debido a que por la mañana había llovido. Tiene una nueva idea. Va a medir la altura de un árbol cuya copa ve reflejada en el charco. Para ello mide con la cinta la distancia entre él y el charco (2 metros), y la distancia entre el charco y la base del árbol (10 metros). Se sienta de nuevo a la sombra del árbol y, sabiendo que la altura de sus ojos respecto al suelo es de 1,65 m calcula la altura del árbol.

Vamos a hacer el esquema del problema:

Dado que por la ley de Snell el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, los dos triángulos dibujados son semejantes y podremos aplicar de nuevo el Teorema de Tales. Procediendo como en el problema anterior:

Por lo que la altura del árbol será: